人教高中数学专题10 数列求和方法之错位相减法(解析版).docx

专题10 数列求和方法之错位相减法
一、单选题
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（ ）
A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n
【答案】D
【分析】
利用已知条件列出方程组求解即可得，求出数列{an}的通项公式，再利用错位相减法求和即可.
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，
所以由题设得，
两式相除得1+q3=9，解得q=2，
进而可得a1=1，
所以an=a1qn-1=2n-1，
所以nan=n×2n-1.
设数列{nan}的前n项和为Tn，
则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，
2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，
两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=-1+(1-n)×2n，
故Tn=1+(n-1)×2n.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题.
二、解答题
2．在公差不为零的等差数列中，前五项和，且，，依次成等比数列，数列的前项和满足（）.
（1）求及；
（2）设数列的前项和为，求.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的性质结合等比中项的应用，列方程求出公差，进而得出数列；当时，由可得，两式作差并利用等比数列的通项公式计算出；
（2）利用错位相减法计算出数列的前项和为．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，则.
因为，所以；
又，，依次成等比数列，所以，所以.
即，解得（舍）或，
所以，即.
当时，即，所以；
当时，由可得，
相减得，即，
所以数列是首项为，公比的等比数列，所以.
（2），所以，
则，
相减得
，
所以.
【点睛】
方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，考查学生计算能力，数列求和的方法如下：
1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；
2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；
3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；
4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n﹣1.
(1)求数列{an}的通项公式，
(2)设函数f(x)＝()x，数列{bn}满足条件b1＝f(﹣1)，f(bn+1)．
①求数列{bn}的通项公式，
②设cn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【答案】(1)an＝2n，n∈N*；(2)①bn＝3n﹣1；②Tn＝5．
【分析】
（1）利用及可得通项公式；
（2）①化简关系式，由指数函数性质得数列是等差数列，从而得通项公式；
②由错位相减法求和．
【详解】
(1)由Sn＝2n﹣1，即Sn＝2n+1﹣2，
当n＞1时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝(2n+1﹣2)﹣(2n﹣2)＝2n，
当n＝1时，a1＝S1＝2，满足上式．则有数列{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*；
(2)①f(x)＝()x，b1＝2，f(bn+1)．
可得()()，
即有bn+1＝bn+3，可得{bn}以2首项和3为公差的等差数列，
即有bn＝3n﹣1；
②cn，前n项和Tn＝25()2+…+(3n﹣4)()+(3n﹣1)()n，
Tn＝2()2+5()3+…+(3n﹣4)()n+(3n﹣1)()n+1，
相减可得，Tn()2+…+3()+3()﹣(3n﹣1)()n+1
(3n﹣1)()n+1，
化简可得，前n项和Tn＝5．
【点睛】
本题考查由求，考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：
设数列是等差数列，是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（
（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；
（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；
（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
4．数列的前项和，数列的前项和，满足.
（1）求及；
（2）设数列的前项和为，求并证明：.
【答案