人教专题1.9 二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题1.9 二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精讲
1．一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
注：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
注：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
【题型1 一元二次不等式的解法（不含参）】
【方法点拨】
解不含参的一元二次不等式的一般步骤：
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
【例1】（2022春•阿拉善左旗校级期末）不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为（　　）
A．(−12，2) B．(−2，12)
C．(−∞，−2)∪(12，+∞) D．(−∞，−12)∪(2，+∞)
【解题思路】根据不等式的解法直接求解．
【解答过程】解：方程（x+2）（2x﹣1）＝0的根，x＝﹣2或x=12，函数y＝（x+2）（2x﹣1）的开口方向向上，
∴不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为(−2，12)，
故选：B．
【变式1-1】（2022春•眉山期末）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） B．（﹣4，1）
C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）
【解题思路】解方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝﹣1，x2＝4，由此能求出不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集．
【解答过程】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0，
解方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝﹣1，x2＝4，
∴不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（﹣1，4）．
故选：C．
【变式1-2】（2022春•珠海期末）不等式（x+1）（x+3）＜0的解集是（　　）
A．R B．∅
C．{x|﹣3＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣3，或x＞﹣1}
【解题思路】直接求解一元二次不等式即可．
【解答过程】解：（x+1）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜﹣1，
∴原不等式的解集为{x|﹣3＜x＜﹣1}．
故选：C．
【变式1-3】（2022春•凉州区期末）不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（　　）
A．{x|−23≤x≤1} B．{x|−1≤x≤23}
C．{x|x≤−23或x≥1} D．{x|x≤−1或x≥23}
【解题思路】根据题意，由一元二次不等式的解法分析得答案．
【解答过程】解：根据题意，3x2﹣x﹣2≥0即（3x+2）（x﹣1）≥0，
解可得：x≥1或x≤−23，即不等式的解集为{x|x≤−23或x≥1}，
故选：C．
【题型2 一元二次不等式的解法（含参）】
【方法点拨】
解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【例2】（2022春•南充期末）当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．
【解题思路】对于二次项含参的一元二次不等式，需要对二次项系数a是否为零进行讨论，进而求解即可．
【解答过程】解：由不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0化简可得（ax+1）（x﹣2）≥0．
由于二次项系数含参，故进行如下讨论：
①当a＝0时，原不等式化简为：x﹣2≥0，解得x≥2．
②当a＜0时，不等式为：（ax+1）（x﹣2）≥0．
解得方程（ax+1）（x﹣2）＝0的两根分别为为x1=−1a，x2＝2．
则：当a=−12时，解为：x＝2．
当−12＜a＜0时，−1a＞2，解为；2≤x≤−1a．
当a＜−12时，−1a＜2，解为：−1a≤x≤2．
综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥2}．
当a=−12时，解集为{x|x＝2}．
当−12＜a＜0时，解集为：{x|2≤x≤−1a}．
当a＜−12时，解集为