微专题 与圆有关的最值问题 学案——2023届高考数学一轮人教版.docx

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微专题：与圆有关的最值问题
【考点梳理】
求解与圆相关的最值问题，基本思路是利用数形结合思想转化.
(1)已知圆的半径为r，则①圆O上一点到圆外一点P的距离d的最大值和最小值分别为dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；②圆上的点到与该圆相离的某条直线的距离d的最大值和最小值分别为dmax＝m＋r，dmin＝m－r，其中m为圆心到直线的距离.
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型：
①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题；
④形如|ax＋by＋c|型的最值问题，可转化为动点(x，y)到直线ax＋by＋c＝0距离的倍的最值问题.
求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
【题型归纳】
题型一： 定点到圆上点的最值（范围）
1．已知，且，（i为虚数单位），则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
2．如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（       ）
A． B．2 C． D．
3．已知A，B为圆上的两动点，，点P是圆上的一点，则的最小值是（       ）
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A．2 B．4 C．6 D．8
题型二： 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
4．过圆C: 外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线的距离的最小值为（       ）
A．1 B． C．2 D．3
5．已知点A（2，0），B（0，﹣1），点是圆x2+（y﹣1）2＝1上任意一点，则 面积最大值为（       ）
A．2 B． C． D．
6．若，分别为圆：与圆：上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（       ）
A． B．6 C．9 D．12
题型三： 过圆内定点的弦长最值（范围）
7．在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（       ）
A． B． C． D．
8．已知直线 l 过点，则直线 l 被圆O：截得的弦长的最小值为（       ）
A．3 B．6 C． D．
9．直线被圆截得的最长弦的长为（       ）
A． B． C． D．
题型四： 直线与圆的位置关系求距离的最值
10．当圆的圆心到直线的距离最大时，（       ）
A． B． C． D．
11．已知P是直线l：x＋y－7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：相切，切点分别为A，B.则｜
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AB｜的最小值为（       ）
A． B． C． D．
12．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
题型五： 切线长的最值
13．已知圆，P为抛物线上的动点，过点P作圆的切线，则切线长的最小值为（       ）
A．1 B． C．2 D．3
14．已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
15．已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（       ）
A．8 B． C． D．
【双基达标】
16．已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（       ）
A． B． C． D．
17．圆C为过点的圆中最小的圆，则圆C上的任意一点M到原点O距离的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
18．已知为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值是（       ）
A． B． C． D．
19．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（       ）
A．1 B．2
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