人教高中数学微专题18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究（解析版）.docx

微专题18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究
【秒杀总结】
交点轨迹问题的常用技巧：
1、两直线方程相乘消元
2、两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元
3、定比点差法
4、同构
5、硬解坐标
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练****已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若是线段的中点，求直线的方程；
(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
【解析】(1)由题意得：，，.
解得，，所以双曲线的标准方程为.
(2)方法1：设，则
依题意有解得，
所以直线的方程为或.
方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
当时
设，，得，.
又因为，所以，，解得.
此时，所以直线MN的方程为或.
(3)方法1：设，，
直线PM的方程为，直线ON的方程，
联立两方程，可得①
结合（2）方法2，可得
代入①得
故.
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
方法2：设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
设，，，，由根与系数的关系，得
，.
：，：，联立两方程，可得：
，
解得
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
例2．（2023·全国·高三专题练****已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
【解析】(1)设抛物线的方程为，
∵抛物线的焦点到直线的距离为，
∴，解得或（舍去，
∴，，
∴抛物线的方程为．
(2)设，，设切点为，曲线，，
则切线的斜率为，化简得，
设，，，则，是以上方程的两根，
则，，
，
直线的方程为：，整理得，
∵切线的方程为，整理得，且点，在切线上，
∴，即直线的方程为：，化简得，
又∵，∴，
故直线过定点．
(3)设，，，
过的切线，过的切线，
则交点，
设过点的直线为，
联立，得，
∴，，
∴，
∴．
∴点满足的轨迹方程为．
例3．（2023·全国·高三专题练****已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，且为坐标原点），于点．试求点的轨迹方程．
【解析】(1)由题意知：，，，解得，．
故椭圆的方程为．
(2)设，，，，
（i）若轴，可设，，因，则，．由，得，即；
若轴，可设，同理可得；
（ii）当直线的斜率存在且不为0时，设，
由，消去得：，
则，
，
由，知．故，
即（记为①．
由，可知直线的方程为，
联立方程组，得（记为②，
将②代入①，化简得．
综合（1）、（2），可知点的轨迹方程为．
例4．（2023·全国·高三开学考试）椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)，分别为椭圆的左､右焦点，动点A，B在椭圆上（不含长轴端点），且关于y轴对称，P为椭圆上异于A，B的动点，直线PA与PB分别交y轴于M，N两点求证：直线与的交点在定圆上.
【解析】(1)解：由得，由，所以，
把点代入方程得，所以，
所以椭圆的方程为.
(2)解：设，，，
由方程：，得，
由BP方程：，得，
∴的方程为，①
的方程为，②
由①②相乘得，③
由，在椭圆上可得，，
代入③式可得：，
即直线与的交点在定圆上.
例5．（【全国市级联考】山西省晋中市2023届高三1月高考适应性调研考试数学（理）试题）已知抛物线： （）的焦点是椭圆： （）的右焦点，且两曲线有公共点
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的左、右顶点分别为， ，若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于， 两点，已知直线与相较于点，试判断点是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.
【解析】试题分析：（1）由条件易得：，从而得到椭圆的方程；
（2）先由特殊位置定出，猜想点在直线上，由条件可得直线的斜率存在， 设直线，联立方程，消得：有两个不等的实根，利用韦达定理转化条件即可.
试题解析：
（1）将代入抛物线得
∴抛物线的焦点为，则椭圆中，
又点在椭圆上，
∴，  解得，
椭圆的方程为
（2）方法一
当点为椭圆的上顶点时，直线的方程为，此时点，，则直线和直线，联立，解得
，
当点为椭圆的下顶点时，由对