人教高中数学微专题19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究（解析版）.docx

微专题19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究
【秒杀总结】
1、直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
2、定比点差法
3、非对称韦达与对称韦达
4、先猜后证
5、硬解坐标
【典型例题】
例1．（2023·江西赣州·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，满足，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)点，点A，B在椭圆上，点N在直线：，满足，，试问是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
【解析】(1)解：由椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，
因为，可得，即，
又由面积的最大值为，可得，即，
因为，即，解得，
所以椭圆的方程为.
(2)解：由，，可得点四点共线，如图所示，
设过点的直线方程为，即，
联立方程组，整理得，
设，则，
联立方程组，可得，即，
因为，，可得，
所以
则

，
所以为定值.
例2．（2023·河北邯郸·高三统考期末）已知椭圆的焦距为2且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【解析】（1）设椭圆的左右焦点为，
由焦距为2可得，①
由椭圆过点可得②，
由①②可得，
所以椭圆C的方程为；
（2）设，，显然直线l的斜率存在．
直线l的方程为，联立方程组
消去y得，由，得，
所以，．
因为点，所以直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为，
，
即，
所以直线AD恒过点．
例3．（2023·全国·高三专题练****已知双曲线E：的离心率为2，左、右焦点分别为，点为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C：的一条切线AM，切点为M，且．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设直线与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为，直线 AD， BD分别与圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q．判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点，如果不过定点，说明理由．
【解析】（1）双曲线的离心率为，因为双曲线上点切圆C：于M，且，
则，即，即，
故双曲线E的标准方程为.
（2）弦PQ过定点，理由如下：
由（1）得，则，.
则直线为，联立得，
则，，，
，
，由得，
.
∴，∴为圆C的直径，故弦PQ恒过圆心
例4．（2023·山西·统考一模）双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点.
【解析】（1）由双曲线可得渐近线为，
不妨取渐近线即
由焦点到渐近线的距离为可得，即
由题意得，得，
从而双曲线的方程为.
（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，
由题意可知：直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与双曲线方程得，
于是，从而，从而，
联立直线与双曲线方程得，
于是，从而，从而，
于是，
从而，
化简得，从而过定点.
例5．（2023·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练****已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，且，以为圆心，为半径的圆经过点.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于，
（ⅰ）设点在第一象限，且直线与交于.若，求的值；
（ⅱ）连接交圆于点，射线上存在一点，且为定值，已知点在定直线上，求所在定直线方程.
【解析】（1）以为圆心，为半径的圆经过点，，即，
，，，，
椭圆的方程为：.
（2）（ⅰ）由（1）得：，可设，，
由得：，即；
由得：，
，，
，，；
在中，由正弦定理得：，
，，
则由得：，
，，即，
，，
，解得：或.
（ⅱ）由题意知：圆方程为：；，；
不妨令位于第一象限，可设，
由（ⅰ）知：，
若直线斜率存在，则，直线，
由得：，，
设，则，
；
当时，为定值，此时，则，此时在定直线上；
当时，不为定值，不合题意；
若直线斜率不存在，则，，，
此时，则直线，设，
则，，，
则时，，满足题意；
综上所述：点在定直线上.
例6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟