人教高中数学重难点12五种椭圆解题方法（核心考点讲与练）(解析版）.docx

重难点12五种椭圆解题方法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：利用椭圆定义解决三角形周长或边长问题
一、单选题
1．（2022·湖北·模拟预测）椭圆：有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且，当时，椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为：（       ）
A．1 B．
C． D．或
【答案】C
【分析】设过点的切线为，分别做于点，做交轴于点，设，入射角和反射角相等得，
利用中位线可得，再根据，可得答案，
【详解】设过点的切线为，分别做于点，
做交轴于点，所得是的中位线，
设，入射角和反射角相等，则，
则
，
因为，当为上顶点时，为，
因为，，所以，
即，，
，
故选：C.
2．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知点P为椭圆C：上一点，点，分别为椭圆C的左､右焦点，若，则的内切圆半径为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求和的值，再求的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解.
【详解】因为，且，所以，，
，，则等腰三角形底边上的高，
所以,
设的内切圆半径为，则，
所以.
故选：B
二、多选题
3．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的焦点分别为，，焦距为2c，过的直线与椭圆C交于A，B两点.，，若的周长为20，则经过点的直线（       ）
A．与椭圆C可能相交 B．与椭圆C可能相切
C．与椭圆C可能相离 D．与椭圆C不可能相切
【答案】AB
【分析】利用给定条件，结合椭圆定义求出椭圆方程，再判断点与椭圆的位置关系作答.
【详解】由椭圆的定义知，，设，则，
则，，而，即有，解得，
又的周长为20，则有，解得，，
因为，即，解得，则，
椭圆C的方程为，显然，即点在椭圆上，
所以经过点的直线与椭圆C相交或相切.
故选：AB
4．（2022·湖北·模拟预测）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点，在y轴上，短轴长等于，离心率为，过焦点为作轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（       ）
A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为
C． D．的周长为
【答案】AC
【分析】解方程组求出即可选项AB的真假，再利用通径公式判断选项C的真假，再利用椭圆的定义判断选项D的真假.
【详解】解：由题意得：，所以，因为，故，因为焦点，在y轴上，所以椭圆C的方程为，所以选项A正确，选项B错误；
由通径长可得，，所以选项C正确；
的周长为，所以选项D错误.
故选：AC．
5．（2022·山东菏泽·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（       ）
A．若直线CA的斜率为，BD的斜率，则
B．存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形
C．取值范围为
D．周长的最大值为
【答案】BD
【分析】A选项，求出A，B两点坐标，表达出；B选项，验证出，是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当A是直角顶点时满足题意，得出结论；C选项，设出，求出；D选项，作出辅助线，利用椭圆定义得到直线经过焦点时，此时的周长最大.
【详解】将代入椭圆方程，求出，其中，
则，A错误；
由题意得：，当时，，此时，
所以当，是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，
当点A是直角顶点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于，故满足题意，所以存在唯一的实数m使得为等腰直角三角形，B正确；
不妨设，则，
因为，所以，C错误；
如图，当直线经过焦点时，此时的周长最大，
等于，其他位置都比小，
例如当直线与椭圆相交于，与x轴交于C点时，
连接，由椭圆定义可知：，显然，
同理可知：，
故周长的最大值为，D正确
故选：BD
6．（2022·山东德州·高三期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是（       ）
A．椭圆的短轴长为 B．当最大时，
C．椭圆离心率为 D．面积最大值为
【答案】BC
【分析】根据椭圆的定义得到，进而判断当轴时，最小，此时最大，进而求出b,c,即可判断A,B,C.设出直线AB并代入椭圆方程并化简，进而根据根与系数的关系求出三角形的面积，然后求出其最大值，最后判断D.
【详解】由题意：，根据椭圆的定义可知，，则的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当轴时，最小，此时最大，如图：
将代入椭圆方程得：，则.
所以短轴长为，A错误；此时，B正确；，C正确；