人教高中数学重难点13六种双曲线解题方法（核心考点讲与练）(解析版）.docx

重难点13六种双曲线解题方法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：待定系数法求双曲线方程
一、单选题
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，则双曲线方程为，，，可得直线为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义和 的周长为36，可求出，从而可求出双曲线的方程
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，则双曲线方程为，，，
所以直线为，
设，
由，得，
则，
所以，
因为，，
所以，
因为的周长为36，
所以，
所以，得，
所以双曲线方程为 ，
故选：C
2．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））若等轴双曲线的焦距为4，则它的一个顶点到一条渐近线的距离为（       ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】用坐标法求解，求出等轴双曲线的标准方程，得到顶点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】不妨设等轴双曲线的标准方程为，则，解得：.
所以等轴双曲线的标准方程为.
此时，顶点坐标，其中一条渐近线方程为：.
所以顶点到一条渐近线的距离为.
故选：A
3．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））双曲线E与椭圆焦点相同且离心率是椭圆C离心率的倍，则双曲线E的标准方程为(       )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出双曲线焦点坐标和离心率，求出双曲线的a、b、c即可求其标准方程．
【详解】双曲线与椭圆焦点相同，则焦点坐标为，
椭圆的离心率为，∴双曲线的离心率为，
设双曲线实半轴长为，虚半轴长为，焦距为2c，则c=2，
，∴，
∴所求双曲线方程为：．
故选：C．
4．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知，是双曲线的两个焦点，R是C上的一点，且，，C经过点，则C的实轴长为（       ）
A． B． C．6 D．3
【答案】B
【分析】由双曲线定义及分别求出，再由余弦定理得，进而结合C经过点解出即可求解.
【详解】
由双曲线定义可得，又可得，由余弦定理可得，即，化简得，又，可得；又C经过点，故，即，
解得，故C的实轴长为.
故选：B.
二、多选题
5．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练****已知双曲线：的左、右焦点分别为，，两条渐近线的夹角正切值为，直线：与双曲线的右支交于，两点，设
的内心为，则（       ）
A．双曲线的标准方程为 B．满足的直线有2条
C． D．与的面积的比值的取值范围是
【答案】ACD
【分析】A:设其中一条渐近线的倾斜角为，，由题干条件可知，从而解出，即，又有焦点坐标，联立可解出，从而求出双曲线方程；B：直线过焦点，判断过焦点弦的最短弦可判断B；C：由双曲线的定义和切线的性质进行转化可判断；D：将三角形的面积用内切圆的半径和边长计算，结合定义，可得到，由的范围可求出比值的范围.
【详解】A选项，设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，因为，所以，从而，解得或（舍去），所以，又，所以，，所以双曲线的标准方程为，故A正确；B选项，直线的方程，即，则直线恒过右焦点，又过焦点的弦最短为，所以满足的直线只有1条，B错误；
C选项，由双曲线的定义可知，，即，因此是的内切圆在边上的切点，因此，C正确；
D选项，由题知
，因为，所以，D正确.
【点睛】知识点点睛：（1）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长度为；异支的弦中最短的为实轴，其长度为.（2）由圆外一点引圆的切线，切线长相等.
6．（2022·全国·高三专题练****已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（       ）
A．双曲线的方程为 B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率为 D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为
【答案】ACD
【分析】由题意知双曲线的焦点在轴上，设双曲线，根据焦点到渐近线的距离为，可求得，即可求得双曲线方程，再根据双曲线的性质逐一分析各选项即可的解.
【详解】解：由题意知双曲线的焦点在轴上，设双曲线，
双曲线的渐近线方程为，取，
即焦点到渐近线的距离为．
所以，所以，所以双曲线的方程为，故选项A正确；
双曲线的渐近线方程为故选项B错误；
离心率，故选项C正确；
双曲线上的点到焦点距离的最小值为，故选项D正确.
故选：ACD．
7．（2022·全国·高三专