人教高中数学重难点14三种抛物线解题方法（核心考点讲与练）(解析版）.docx

重难点14三种抛物线解题方法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一:定义法求焦半径
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测（文））对于正数，，抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，线段与两个抛物线的交点分别为，．若，，则的值为（       ）
A．6 B． C．7 D．
【答案】C
【分析】由抛物线方程求出其焦点和顶点坐标，由条件结合抛物线的定义列方程求出即可.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
抛物线的焦点的坐标为，
又，所以，
设，，
则，，
所以，又，
所以，
又，
所以，又，
所以，
故选：C.
2．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，以为直径的圆过点，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】先设出，由抛物线定义求出，勾股定理求出，结合基本不等式求出的最大值即可.
【详解】
如图，以开口向右的抛物线为例，过作垂直于准线，垂足为，设，
则，以为直径的圆过点，则，，
则，则，当且仅当时取等，
即的最大值为.
故选：C.
3．（2022·广东佛山·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过焦点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B（A在B的上方）两点，若，则的值为（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】设直线l的倾斜角为，求得．过A作准线于，过B作准线于，过B作于.由抛物线定义求出和.
在直角三角形ABC中，利用余弦的定义表示出,即可解得．
【详解】设直线l的倾斜角为，根据条件可得，则可得．
过A作准线于，过B作准线于，过B作于.
由抛物线定义可得：.
因为，所以.
而.
在直角三角形ABC中，,解得：．
故选：C
4．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知抛物线：的焦点为F，Q为上一点，M为的准线上一点且轴.若为坐标原点，P在x轴上，且在点F的右侧，，，，则准线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义以及已知的几何关系，判断出为等边三角形，再运用焦半径公式求出边长，进而解得的取值，求出准线方程.
【详解】由题意得，如图，
点在焦点的右边，且，，
由抛物线的定义知，∵，∴，
又，轴，
∴为等边三角形，
∴点的横坐标为，∴，
又，∴，解得，
∴准线的方程为，
故选：C.
二、多选题
5．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线，焦点为F，直线l与抛物线交于A，B两点，则下列选项正确的是（       ）
A．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切
B．若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为1
C．若，则弦长AB最小值为8
D．当直线l过焦点F且斜率为2时，，，成等差数列
【答案】ABC
【分析】设，根据抛物线定义，可得，即可得AF为直径的圆的半径和圆心坐标，又圆心到y轴距离为，即可判断A的正误；由题意，求得直线l的方程，即可判断B的正误；根据题意，结合韦达定理及弦长公式，可得长表达式，根据m的范围，即可判断C的正误；由题意得，根据焦半径公式结合韦达定理，可求得k值，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】设直线l的方程为，，．
联立，消去x得，
由韦达定理得，．
对于A：，以AF为直径的圆半径为，圆心为，
圆心到y轴距离为，故以AF为直径的圆与y轴相切，故选项A正确；
对于B：∵，∴，即，
∴直线l的方程为，∴直线AB的斜率为1，故选项B正确；
对于C：若，则，
∴，∴，
则．
又，∴当时，AB取最小为8，故选项C正确；
对于D：根据题意可得直线l的斜率存在．∵抛物线的焦点，
∴直线l的方程可设为，
与抛物线方程联立，消去y整理得．
设，，∴，．
若，，成等差数列，则有，
即，化简得．
又，解得或（舍去）．
∵，∴，解得，
所以，与已知矛盾，故选项D错误，
故选：ABC．
【点睛】解题的关键是熟练掌握抛物线的定义、焦半径公式、弦长公式等基础知识，并灵活应用韦达定理进行求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
6．（2022·福建泉州·模拟预测）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（       ）
A．当时，最小值为1
B．当时，的最小值为3
C．当时，的最小值为4
D．当时，的最大值为2
【答案】ACD
【分析】当时，得到为抛物线焦点，利用焦半径求出，从而判断A选项；作辅助线，得到当N，P，M三点共线时