微专题 利用导数研究双变量问题 学案——2023届高考数学一轮人教版.docx

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微专题：利用导数研究双变量问题
【考点梳理】
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
【典例分析】
典例1．已知函数．
(1)若时，，求的取值范围；
(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．
典例2．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：若，，则．
典例3．已知函数（k为常数），函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当，时，有且只有两个不相等的实数根，且；有且只有两个不相等的实数，，且．证明：．
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【双基达标】
4．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设，若，，且，使得，求的最大值.
5．已知函数.
（1）求的单调区间与极值.
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
6．已知对于不相等的正实数a，b，有成立，我们称其为对数平均不等式．现有函数．
(1)求函数的极值；
(2)若方程有两个不相等的实数根，．
①证明：；
②证明：．
7．已知函数．
(1)试讨论的极值；
(2)设，若，，使得，求实数的取值范围．
8．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段中点的横坐标为，证明：.
9．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且，证明：.
10．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对，，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
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【高分突破】
11．已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)任取两个正数，当时，求证：.
12．已知函数．
(1)若在上单调递减，求实数a的取值范围．
(2)若是方程的两个不相等的实数根，证明：．
13．已知函数，.
（1）若存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）若，与为的两个不同极值点，证明：.
14．已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．
(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；
(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：
①；②；③；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
15．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．
①；
②．
16．已知函数（），且有两个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．
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17．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明：.
18．已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若的两个零点分别为，证明：.
19．已知函数．
(1)若存在，使≤成立，求a的取值范围；
(2)若，存在，，且当时，，求证：．
20．已知函数，且是函数的导函数，
(1)求函数的极值；
(2)当时，若方程有两个不等实根．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：．
21．已知函数f(x)＝x－alnx
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)若方程有2个不等的实根，证明：.
22．已知，函数.
(1)当时，求的单调区间和极值；
(2)若有两个不同的极值点，.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：（……为自然对数的底数）.
23．已知.
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(1)若恒有两个极值点，（），求实数a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明.
24．已知函数，实数，为方程的两个不等的根.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.
25．已知函数.
(1)证明：；
(2)若有两个不相等的实数根，求证：.
26．已知函数，其中，为的导函数.
(1)当，求在点处的切线方程；
(2)设函数，且恒成立.
①求的取值范围；
②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.
27．已