微专题 数列求和—裂项相消法求和 学案——2023届高考数学一轮人教版.docx

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微专题：数学求和—裂项相消法求和
【考点梳理】
1、常见的裂项公式
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝[－].
(4)＝(－).
(5)＝－.
(6)C＝C－C.
(7)n·n！＝(n＋1)！－n！.
(8)an＝Sn－Sn－1(n≥2).
2、裂项相消求和问题是常考题型. 裂项是通分的逆变形，裂项时需要注意的两点：一是要注意裂项时对系数的调整；二是裂项后，从哪里开始相互抵消，前面留下哪些项，后面对应留下哪些项，应做好处理. 其中等差数列相邻项乘积的倒数裂项是最常见的，即＝(－)，其中an≠0，d≠0. 除此之外，下面三种也比较常见.
指数型：＝－.
对数型：logn＝lognan＋1－lognan(an>0).
无理型：＝(－)(a>0，b>0).
【典例剖析】
典例1．在①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面的问题中.已知等差数列的前n项和为，且公差，若___________.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前n项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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典例2．已知数列满足（），且．
（1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）若数列满足，的前项和为，证明：．
典例3．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
典例4．已知正项数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为等差数列，求证：．
【双基达标】
5．已知等差数列的前项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列的前项和.
6．已知为等差数列的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
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（2）若，求数列的前项和.
7．已知正项数列的前项和为，且，(且).
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
8．已知数列的前项和为，，．
（1）求证：为等差数列；
（2）求证：．
9．设数列的前n项和为，且，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
10．已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，求证：数列的前项和．
11．已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和为，求证：．
12．已知正项数列的前n项和为，满足（，），.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和的表达式.
13．设等比数列的前项和为，已知，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
14．设数列的前项和为，且，.
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（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
15．已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【高分突破】
16．已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
17．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求与；
（2）设数列满足，求的前项和.
18．已知数列的前n项和满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
19．在①数列为递增的等比数列，，且是和的等差中项，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．
已知数列的前n项和为，____，，设数列的前n项和为，是否存在实数k，使得恒成立？
20．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21．已知数列为等比数列，，其中，，成等差数列.
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（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和.
22．已知数列的前项和满足.
（1）求；
（2）已知__________，求数列的前项和.
从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）