人教版 专题08 立体几何 多选题（新高考通用）解析版.docx

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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题08 立体几何多选题 （新高考通用）
1．（浙江省浙南名校、七彩阳光联盟2023届高三下学期2月返校联考数学试题）正方体中，与平面，平面的分别交于点E，F，则有（    ）
A． B．
C．与所成角为 D．与平面所成角为
【答案】ABD
【分析】利用线线垂直证明线面垂直，再利用线面垂直证明线线垂直判断A项；根据等体积转换，即可求点B到面的距离，进而判断B项；把异面直线平移到同一个平面即可判断C项；可证平面，则直线与平面所成的角为，即可判断D项．
【详解】对A选项，∵平面，∴，又，且，
平面，平面，∴平面，
又平面，∴，故A正确；
对B选项，由选项A知，，又平面，平面，∴，且，平面，平面，∴平面，即平面，同理平面，故点到面的距离为.
设正方体棱长为2，因为为正三角形，
所以，又.
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根据等体积转换可知：，即，
即，所以，同理，又，
∴，故B正确；
对C选项，∵，∴（或其补角）即为异面直线与所成角，
∵四边形为正方形，∴，∴与所成角为，故C错误；
对D选项，∵平面，∴，又，且，
平面，平面，∴平面，
设，则平面，连接，如图
由线面角的定义知，为与平面所成角，
设正方体棱长为2，则，，∴，
∵，∴，
∴与平面所成角为，故D正确；
故选：ABD.
2．（湖南省四大名校名师团队2023届高三普通高校招生统一考试数学模拟冲刺卷（一））已知正四棱锥的所有棱长均为，，分别是，的中点，为棱上异于，的一动点，则以下结论正确的是（    ）
A．异面直线、所成角的大小为
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．周长的最小值为
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D．存在点使得平面
【答案】BC
【分析】根据空间中异面直线所成角，直线与平面所成角的定义，空间中折叠问题以及垂直关系的判定与性质，逐个选项运算求解即可．
【详解】如图，取的中点，连接，，
因为，分别是，的中点，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
则，又正四棱锥的所有棱长均为，
则，所以异面直线，所成角为，故A错误；
设正方形的中心为，连接，，
则平面，，
设的中点为，连接，，
则，且平面，
所以为直线与平面所成角，所以，
中，，，，
所以由余弦定理可得，所以 ，
所以，故B正确；
将正和沿翻折到一个平面内，如图，
当，，三点共线时，取得最小值，
此时，点为的中点，，
所以周长的最小值为，故C正确；
若平面，则，此时点为上靠近点的四等分点，
而此时，与显然不垂直，故D错误；
故选：BC．
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3．（浙江省嘉兴市平湖市2023届高三下学期3月模拟数学试题）已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，且与正方体的内切球（为球心）交于，两点，则下列说法正确的是（    ）
A．线段的长为
B．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为
C．三棱锥的体积为
D．设为球上任意一点，则与所成角的范围是
【答案】BC
【分析】过，，三点的截面为正六边形，球心为其中心，作出图形在正六边形中求出判断A，求出正六边形面积判断B，由等体积法求出三棱锥体积判断C，分析与所成角的最大最小值判断D.
【详解】过，，三点的截面为正六边形，球心为其中心，如图，
在正六边形中，，点到的距离为，，
所以，故A错误；
正六边形的面积，故B正确；，故C正确；
、、为球的切线，故当为中点时，与所成角最小为0，
，所以，
当与球相切且P在平面OAC内时，为或的中点时，与所成角最大为，故D错误.
故选：BC.
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4．（浙江省宁波市十校2023届高三下学期3月联考数学试题）正方体的棱长为1，点满足，则下列说法正确的有（    ）
A．若，则
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若点总满足，则动点的轨迹是一条直线
D．若点到点的距离为，则动点的轨迹是一个面积为的圆
【答案】ABC
【分析】作出图形，利用线面垂直、平行的判定定理和性质定理逐项分析检验即可求解.
【详解】对于，因为且，由向量基本定理可知：点共线，如图，连接，
在正方体中，，平面，
因为平面，所以，又，
所以平面，
在上任取一点，连接，则平面，所以，
在正方体中，因为，且，
所以四边形为平行四边形，所以，则，
故选项正确；
对于，如图，连接，
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因为且，由向量基本定理可知：点共线，即点在直线上，在正方体中，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，则直线上任意一