人教版专题29 立体几何大题综合 （新高考通用）解析版.docx

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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题29 立体几何大题综合 （新高考通用）
1．（2021春·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练****如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接、．
(1)求证：平面平面．
(2)当二面角的大小为时，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)四棱锥的体积为.
【分析】（1）由圆锥的几何性质推得平面平面，根据面面垂直的性质及线面垂直的性质，可得，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）由平面平面，，知平面，从而有，，故，进而得，由和棱锥的体积公式，得解．
【详解】（1）证明：是圆的切线，，
由圆锥的性质知顶点在底面圆上的投影为底面圆心，
∴平面，又平面，
∴平面平面，
平面平面，平面，
平面，
，
，，则，，
又，、平面，
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平面，
平面，
平面平面．
（2），且为的中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，
，，
为二面角的平面角，即，
，
在中，，，
，
四棱锥的体积．
2．（2023·广东汕头·统考一模）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，．
(1)已知点为上一点，且，求证：与平面不平行；
(2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求该多面体的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及直线的方向向量，即可证明；
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（2）设且，利用空间向量法求出表示出线面角的正弦值，即可求出参数的值，再根据锥体的体积公式计算可得.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以、，又，
如图建立空间直角坐标系，则、、、、，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以，
因为，且不存在使得，即与不共线，
所以与平面不平行且不垂直.
（2）解：设且，则，所以，
直线与平面所成角的正弦值为，
，化简得，解得或（舍去），
因为，平面，所以平面，又平面，平面，
所以，，又，，所以，
，平面，所以平面，
又，所以，
，所以，
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所以，即多面体的体积为.
3．（2023·广东梅州·统考一模）如图，在边长为4的正三角形中，为边的中点，过作于.把沿翻折至的位置，连接､.
(1)为边的一点，若，求证：平面；
(2)当四面体的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由线面平行判定定理证明平面，平面，根据面面平行判定定理证明平面平面，根据面面平行性质定理证明平面；
(2)根据锥体体积公式由条件确定平面，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，根据向量夹角公式求法向量的夹角余弦，由此可得结论.
【详解】（1）取中点，连接，
因为在正三角形中，，
又因为，所以，
平面，平面，
所以平面，
又有，且，所以，
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而平面，平面，所以平面.
有，平面，
所以平面平面，
又平面，
因此平面.
（2）因为，又因为的面积为定值，
所以当到平面的距离最大时，四面体的体积有最大值，
因为，，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
当时，平面平面，平面
所以平面，即在翻折过程中，点到平面的最大距离是，
因此四面体的体积取得最大值时，必有平面.
如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直接坐标系，
易知，，，，
，，，
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为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
，
由，令得：，，
所以为平面的一个法向量，
.
所以平面与平面的夹角（锐角）的余弦值为.
4．（2023春·广东·高三校联考阶段练****已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱平面，点在棱上，且，点是在棱上的动点（不为端点）.（如图所示）
(1)若是棱中点，
（i）画出的重心（保留作图痕迹），指出点与线段的关系，并说明理由；
（ii）求证：平面；
(2)若四边形是正方形，且，当点在何处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值.
【答案】(1)(i)作图见解析；(ii)证明见解析；
(2)点在线段靠近的三等分处时, 正弦值取最大值为.
【分析】（1）(i)根据重心为三角形三边中线的交点可作图；(ii)利用线面平行判定定理证明；
（2）利用空间向量的坐标运算，表示出线面夹角的正弦值，即可求最大值.
【详解】