人教高中数学重难点06两种数列最值求法（核心考点讲与练）(解析版）.docx

重难点06两种数列最值求法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：单调性法求数列最值
一、单选题
1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知等差数列的前n项和为，，则数列（       ）
A．有最大项，无最小项 B．有最小项，无最大项
C．既无最大项，又无最小项 D．既有最大项，又有最小项
【答案】D
【分析】根据等差数列的首项 ,公差列方程,可得和,进而可得,通项,进而根据的单调性,即可得最值.
【详解】等差数列的首项为 ,公差为, 由得 ,故
当时, 单调递减,故,且
当时, 单调递减,故,且
故有最大值为2,最小值为
故选:D
2．（2022·北京·二模）已知等差数列与等比数列的首项均为－3，且，，则数列（       ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】A
【分析】求出等差数列和等比数列的通项公式，得出，确定数列中奇数项都是负数，偶数项都是正数，然后设
，用作差法得出的单调性，从而可得数列的最值．
【详解】，，则，，
，，，，，
，显然奇数项都是负数，偶数项都是正数，
设，
则，
，即时，，，
时，，，即数列，从到递增，从往后递减，
由于中奇数项都是负数，偶数项都是正数，
所以中，最大，
又，，所以是最小项．
故选：A．
3．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知等差数列的首项，且，正项等比数列的首项，且，若数列的前n项和为，则数列的最大项的值为（       ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】先求出，的得到，再求出，从而得出，然后分析出数列的单调性，得出答案.
【详解】设等差数列的公比为，由，则
即，故，则
则
设正项等比数列的公比为，由，则
所以，解得，则
，设，则
当时，，即
当时，，即
所以最大.
故选：C
4．（2022·广东·一模）已知正项数列满足，当最大时，的值为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先令，两边取对数，再分析的最值即可求解.
【详解】令，两边取对数，有，
令，则，
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以时，取到最大值，从而有最大值，
因此，对于，当时，；当时，.
而，因此，当最大时，.
故选：B
二、多选题
5．（2021·广东·高三阶段练****设数列的前n项和为，若，则下列结论中正确的是（       ）
A．
B．
C．
D．满足的n的最大值为2020
【答案】ACD
【分析】A选项，对化简后得到结果；B选项，对通项公式分离常数后利用裂项相消法求和；C选项，是单调递减数列，故；D选项，在B选项的基础上进行求解即可..
【详解】，故A正确；
因为，
所以，故B错误；
因为，所以，所以是单调递减数列，所以，故C正确；
因为，所以单调递增，且，，所以满足的n的最大值为2020，故D正确．
故选：ACD
6．（2022·全国·高三专题练****等比数列各项均为正数，，，数列的前项积为，则（       ）
A．数列单调递增 B．数列单调递减
C．当时，最大 D．当时，最小
【答案】BC
【分析】由等比数列基本量求得等比数列的公比，由可得数列的增减性，然后由判断数列的单调性，从而得到的最值.
【详解】设等比数列的公比为，，，
等比数列各项均为正数，，，，
，，数列单调递减；
，，，
当时，；当时，；
数列中，从到递增，从开始递减，时，数列中最大.
故选：BC
7．（2021·河北·高三阶段练****已知，分别是等差数列的公差及前项和，，设，数列的前项和为，则下列结论中正确的是（       ）
A．满足的最小值为 B．
C． D．时，取得最小值
【答案】AC
【分析】由已知可得，，，公差，利用等差数列前项和公式以及等差数列的性质可判断A；由可判断B；作差结合可判断C；由的单调性以及的符号即可求出的最小值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】由题意知：，，，
选项A中：，，所以满足的最小值为，故选项A正确；
选项B中：，即，故选项B错误；
选项C中：由，可知公差，
则
所以，故选项C正确；
选项D中：当时，，当时，，
所以当时，，；，，当时，，
所以，；当时，，
，
所以，所以当时，取得最小值，故选项D不正确，
故选：AC.
8．（2022·江苏·高三专题练****在（）中，内角的对边分别为，的面积为，若，，，且，，则（