微专题 利用导数研究函数零点问题 学案——2023届高考数学一轮人教版.docx

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微专题：利用导数研究函数零点问题
【考点梳理】
利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
【典例分析】
典例1．已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)当时，判断函数在上零点个数.
典例2．已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在上无零点，求实数a的取值范围.
典例3．设函数，其中．
(1)若，讨论的单调性；
(2)若．
（ⅰ）证明：恰有两个零点；
（ⅱ）设为的极值点，为的零点，且，证明：．
【双基达标】
4．已知，函数.
(1)讨论的极值点个数；
(2)若函数有三个极值点，设，证明：.
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5．已知函数，其中.
（1）当时，求函数在上的最值；
（2）（i）讨论函数的单调性；
（ii）若函数有两个零点，求的取值范围.
6．已知函数，.
(1)求证：在处和处的切线不平行；
(2)讨论的零点个数.
7．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
8．函数.
（1）求证：有且仅有两个极值点；
（2）设的两个极值点分别为，，且满足，若函数有三个零点，求实数的取值范围.
9．设函数，.
(1)讨论函数零点的个数；
(2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围.
10．设函数.
（1）讨论在上的单调性；
（2）证明：在上有三个零点.
【高分突破】
11．已知函数f(x)＝lnx＋＋ax(a∈R)，g(x)＝＋．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)如果函数F(x)＝f(x)－g(x)存在零点，求实数a的最小值．
12．已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
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(2)证明：若有两个零点，则．
13．已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
14．已知函数（）．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个零点，．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：．
15．已知函数.
(1)求证：；
(2)若函数无零点，求a的取值范围.
16．已知函数，为的导数.
(1)证明：当时，；
(2)设，证明：有且仅有2个零点.
17．设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
18．已知函数．
(1)讨论的零点个数．
(2)若有两个不同的零点，证明：．
19．1.已知函数（m≥0）.
(1)当m=0时，求曲线在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)若函数的最小值为，求实数m的值.
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20．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
21．已知函数.
（Ⅰ）若，求的单调区间；
（Ⅱ）若，，求零点个数.
22．（1）求证：；
（2）已知，求的根的个数；
（3）求证：若，则．
23．已知函数在时有极值0.
(1)求函数的解析式；
(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.
24．已知函数．
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）设，若有三个不同的零点，求的取值范围．
25．已知，.
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）若，且在上有三个零点，求实数的取值范围.
26．已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若，是函数的两个不同的零点，证明：.
27．设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
28．已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
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