人教版 专题09 球体综合问题 小题综合（新高考通用）解析版.docx

【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题09 球体综合问题 小题综合 （新高考通用）
一、单选题
1．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）一个圆锥的轴截面是等边三角形，且该圆锥内部最大的球的表面积为.若该圆锥的轴截面的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出内切球的半径，依题意可得圆锥的内切球和外接球的球心是同一个点，且球的半径为该等边三角形外接圆的半径，设球的半径为，则，最后根据球的表面积公式计算可得.
【详解】解：设该圆锥内切球的半径为，则，所以.
因为该圆锥的轴截面是等边三角形，所以其内切球和外接球的球心是同一个点，
即该等边三角形的中心，则球的半径为该等边三角形外接圆的半径，
设球的半径为，则，所以球的表面积为.
故选：D.
2．（2023·广东广州·统考一模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，证明平面，再确定球心O的位置，求出球半径作答.
【详解】在三棱锥中，如图，，则，同理，
而平面，因此平面，
在等腰中，，则，，
令的外接圆圆心为，则平面，，
有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即，
从而，四边形为平行四边形，，又，
因此球O的半径，
所以球的表面积.
故选：A
3．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形沿对角线折起，当四面体体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当平面平面时，四面体的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解.
【详解】不妨设菱形的边长为，，，
外接球半径为，内切球半径为，
取中点为，连接，
因为，所以，
当平面平面时，平面平面，
平面，所以平面，
此时四面体的高最大为，
因为，所以
所以，
，
令解得，
令解得，
所以在单调递增，单调递减，
所以当时最大，最大体积为，
此时，
以四面体的顶点构造长方体，长宽高为，
则有解得，所以，
所以外接球的表面积为，
又因为，
所以，
，
所以，
所以，
所以，所以内切球的表面积为，
所以内切球和外接球表面积之比为，
故选:C.
4．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）如图所示的多面体由正四棱锥
和三棱锥组成，其中.若该多面体有外接球且外接球的体积是，则该多面体体积的最大值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据求得体积可得其半径，分析可得四棱锥的外接球的球心为底面中心，根据等体积法可求得点到平面的距离，进而分析可得三棱锥的高的最大值为，进而可求多面体体积的最大值.
【详解】设正四棱锥的外接球的半径为，则，解得，
连接交于点，连接，
∵正方形的边长为2，则，
∴为四棱锥的外接球的球心，
则，故的是以边长为2的等边三角形，
过作平面的垂线，垂足为，连接，
由三棱锥的体积可得：，解得，
由题意可知：点在四棱锥的外接球的球面上，则，
∵，即，
当且仅当三点共线，则面时等号成立，
可得三棱锥的高的最大值为，
∴三棱锥的体积，
故该多面体体积.
故选：D.
【点睛】关键点定睛：
（1）求出球的半径结合正方形的边长分析得球心为底面中心；
（2）根据几何性质，分析可得三棱锥的高的最大值.
5．（2023·浙江·模拟预测）在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵中，，鳖臑的外接球的体积为，则阳马体积的最大值为（    ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】设的外接球半径为r，根据鳖臑的外接球的体积即可求得r，再根据的外接球的半径与三棱柱的外接球的半径相同可得到x，y的关系式，再根据四棱锥的体积公式结合基本不等式即可求解．
【详解】设的外接球半径为r，
则的外接球的体积为．
．
又阳马的体积为，
所以阳马体积的最大值为．
故选：B．
6．（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练****如图1，四边形中，，，，将沿翻折至，使二面角的正切值等于，如图2，四面体的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取中点，连