人教版用几何法求解二面角的平面角 ——广东省普宁市华侨中学2022年暑假数学讲义.docx

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【重难点突破】2022年暑假高二高效提升讲义（新人教A版2019）

用几何法求解二面角的平面角
【考点梳理】
三垂线型
三垂线模型是根据三垂线定理或其逆定理，在已知（或已证）直线垂直于平面的前提下，通过作棱的垂线得到二面角的平面角，是一种非常重要且常见的方法，其建构方法可总结为"两垂一连"。
如图：三棱锥P-ABC中，已知PA平面ABC，如下图，这是"一垂"，即已知（或已证）的线面垂直；过点A作 AHBC，垂直为H，这是"二垂"，即过垂足作棱的垂线；联结 PH，这是"一连"，则PHA为二面角P-BC-A的平面角。
具体细分为两种类型：（1）题目出现直线垂直半平面（2）题目出现的面的垂线落在半平面内
【典例剖析】
典例1．如图，在三棱锥中，.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
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典例2．已知矩形，E，F分别是线段中点，底面．
(1)若棱上一点G满足，求证：面；
(2)若，求二面角的正切值．
典例3．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求平面和平面夹角的余弦值的大小．
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典例4．如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A､B的任意一点，且.求证：
(1)平面平面PBC；
(2)当点C（不与A､B重合）在圆周上运动时，求平面PBC与所在的平面所成二面角大小的范围.
【双基达标】
5．如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，平面平面，平面平面.
(1)求证：;
(2)求二面的余弦值.
6．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且的中点为.
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(1)在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，指出点在上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；
(2)若，求二面角的余弦值.
7．如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为菱形，，侧面SAB⊥侧面SBC，M为AD的中点．
(1)求证：平面SMC⊥平面SBC；
(2)若AB与平面SBC成角时，求二面角的大小，
8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，△PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PD的中点．
(1)求证：AE⊥平面PCD；
(2)若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为，求侧面PAD与侧面PBC所成二面角的大小．
9．已知四棱锥的底面为矩形，，，平面，是的中点.
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(1)证明：平面；
(2)若与平面所成的角为45°，求二面角的正切值.
10．已知在四棱锥中，平面，，∥，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的余弦值．
11．在四棱锥中，，，，，平面，，分别为，的中点.
(1)求证：平面面；
(2)若，求二面角的大小.
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12．已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点．
(1)证明：平面；
(2)若是边长为2正三角形，求二面角的正弦值．
13．如图，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，.
(1)求证：平面；
(2)求四面体的体积；
(3)求平面与平面的夹角的正切值.
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参考答案
1．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由线面垂直的判定定理可证平面，再由面面垂直的判定定理即可证明结果.
（2）过点分别作的垂线，即找到二面角的平面角，即可求出答案.
（1）∵，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴平面⊥平面．
（2）取的中点，连接，则，
由（1）知平面平面，平面平面，平面，∴平面．又平面.所以.作，垂足为点，连接，因为,平面.所以平面.又平面则，则为二面角的平面角．设，则．由题意得，中，，∴二面角的平面角的正弦值为.
2．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）作为的中点