人教高中数学重难点08 七种数列数学思想方法（核心考点讲与练）(解析版）.docx

重难点08 七种数列数学思想方法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练****数列满足：，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意设，利用导数讨论函数的单调性，进而得出在上恒成立，作出图象，结合图象即可得出结果.
【详解】由题意知，
设，
则，
所以函数在上单调递增，
又，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
画出函数和的图象，如图，
由图象可得，，
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练****若数列满足，，记数列的前项和为，则（       ）
A．时，是递减数列 B．时，是递增数列
C．时， D．时，
【答案】C
【分析】设，根据导数判断出当时，成立，从而可判断选项A；当时，，由此可判断选项B；结合蛛网图可判断选项C；根据时，数列单调递减，同时结合C中结论可判断选项D.
【详解】设，，则，
若，则，所以存在，使所以，
此时，，
又，所以，即，
当时，，，
所以时，，所以选项A错误；
易知函数是奇函数，因为时，，
所以时，，即，
当时，， ，
所以时，，所需选项B错误；
要证，只需证，
即证
即只需证，
所以只需证，
由结合蛛网图，可得到，
所以，所以选项C正确；
因为所以时，，即，
当时，，所以数列单调递减，
且当时，，同时结合C中结论可推出选项D错误.
故选C
3．（2022·全国·高三专题练****已知数列的前n项和为，若是公差为d（）的等差数列，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得，对于AB，令，可得，即，由于正负不确定，无法比较大小；对于CD，令，可得，即，令，可得，即，作差法比较，进而得到选项.
【详解】是公差为d（）的等差数列，其首项为
，即
对于AB，当时，，整理得：，即
当时，；当时，；故AB错误；
对于CD，当时，，整理得：，又，
，
当时，，整理得：，即
，
显然为减函数，且，
又，，即，故D正确；
故选：D
4．（2021·浙江·高三阶段练****已知各项都为正数的数列满足，，给出下列三个结论：①若，则数列仅有有限项；②若，则数列单调递增；③若，则对任意的，陼存在，使得成立．则上述结论中正确的为（       ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】对于①，利用数列的单调性，通过累加法即可作出判断；对于②，先证明，再借助作差法即可得到结果；对于③，判断数列是有界的还是发散的即可.
【详解】对于①，∵，∴，
又数列各项都为正数，∴，
∴数列单调递减，∴，∴；
∵，即
∴，
∴
，
∴，即，
∴，即，而为定值，
∴数列仅有有限项，命题正确；
对于②，先用数学归纳法证明.
（1）当时，，显然成立；
（2）假设时，，
则，
记，，
，∴在上单调递增，
，
∴，
∴对，都有.
∵∴，
∴，
又在上单调递增，
又，∴，
∴数列单调递增，命题正确；
对于③，
∵，
∴，即，
又，∴，
∴，
∴，
∴，
显然存在上界，即存在上界，
∴命题错误.
故选：A
【点睛】方法点睛：递推关系显然无法确定通项，从而要从项间关系切入，利用单调性、最值、周期性等，结合放缩思想即可得到结果.
二、多选题
5．（2022·全国·高三专题练****设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（       ）
A．若，则数列有最大项
B．若数列有最大项，则
C．若数列对任意的，恒成立，则
D．若对任意的，均有，则恒成立
【答案】ABD
【分析】由等差数列的前项和公式可得，可看作关于的二次函数且，对于选项和，根据二次函数的性质即可判断正误；对于选项，举出反例，即可判断正误；对于选项，由并结合二次函数性质，即可得出，，即可判断正误，从而得出答案.
【详解】解：由于等差数列前项和公式，
对于选项，若，则有最大值，则数列有最大项，故选项正确；
对于选项，当数列有最大项，则对应的二次函数有最大值时，可知，故选项正确；
对于选项，令，对任意的，则数列递增，满足恒成立，但，故选项
错误；
对于选项，若对任意的，均有，则，，则必为递增数列，故选项正确.
综上可知，正确的命题是ABD.
故选：ABD.
【点睛】本题考查等差数列的前项和公式的应用，，可看成关于的二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查逻辑推理能力和函数思想