高中物理人教专题3.4 数学方法在物理中的应用问题（解析版）.docx

第三部分 专项提能优化训练
专题3.4 数学方法在物理中的应用问题
目录
一、正弦定理、余弦定理、三角形相似法 1
类型1　正弦定理的应用 1
类型2　余弦定理的应用 4
类型3　三角形相似法的应用 5
7
10
四、均值不等式 14
四、数学归纳法和数列法 16
五、微元法的应用 23
一、正弦定理、余弦定理、三角形相似法
类型1　正弦定理的应用
1．正弦定理：
在如图甲所示的三角形中，各边和所对应角的正弦之比相等。
即：＝＝
【例1】(2020·日照模拟)如图所示，两个质量分别为m、m的小圆环A、B用不可伸长的细线连着，套在一个竖直固定的大圆环上，大圆环的圆心为O。系统平衡时，细线所对的圆心角为90°，大圆环和小圆环之间的摩擦力及细线的质量忽略不计，重力加速度大小用g表示，下列判断正确的是(　　)
A．小圆环A、B受到大圆环的支持力之比是∶1
B．小圆环A受到大圆环的支持力与竖直方向的夹角为15°
C．细线与水平方向的夹角为30°
D．细线的拉力大小为mg
【答案】A
【解析】　对小圆环A和B进行受力分析，根据平行四边形定则作出重力和支持力的合力，此合力的大小等于细线的拉力的大小，设A、B所受的支持力与竖直方向的夹角分别为α和β，如图所示：
根据正弦定理可以得到：＝，＝，
由于FT＝FT′，α＋β＝90°
整理可以得到：α＝30°，β＝60°，FT＝FT′＝mg
再次利用正弦定理：＝，＝
整理可以得到：＝，故选项A正确，B、D错误；
由题图根据几何知识可以知道，细线与水平方向的夹角为90°－(45°＋30°)＝15°，故选项C错误。
【针对训练1】.在仰角α＝30°的雪坡上举行跳台滑雪比赛，如图所示。运动员从坡上方A点开始下滑，到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率不变而以与水平面成θ角的方向起跳。最后落在坡上B点，坡上OB两点距离为L。已知A点高于O点h＝50 m，不计摩擦和阻力，则OB两点距离L最大值为多少米？此时起跳角为多大？
【答案】：200 m　30°
【解析】：运动员在O点速度v0＝＝10 m/s。起跳后运动员做斜上抛运动。
法一：以O为原点，建立水平向右和竖直向上的xOy坐标系，把运动分解为水平向右的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动。
x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－gt2，令y＝－xtan α
解得x＝＝。当2θ＋α＝90°，θ＝30°时，xmax＝，此时OB有极大值L＝＝200 m。
法二：建立如图甲所示坐标系
把运动分解为沿斜面方向的匀加速直线运动和垂直于斜面方向的匀减速直线运动。
L＝v0tcos(α＋θ)＋，0＝v0tsin(α＋θ)－。余下的计算过程同上。
法三：把运动视为v0方向的匀速运动和自由落体运动的合成。如图乙所示
＝＝，消去t，同样得到L的表达式，余下解略。
【针对训练2】．(2022·银川模拟)如图所示，a、b两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接。已知b球质量为m，杆与水平面的夹角为30°，不计所有摩擦。当两球静止时，Oa段绳与杆的夹角也为30°，Ob段绳沿竖直方向，则a球的质量为(　　)
A.m　　　　　　　　 B.m
C.m D．2m
【答案】A
【解析】：　分别对a、b两球受力分析，如图所示
根据共点力平衡条件得：FT＝mbg；根据正弦定理得：＝；故mb∶ma＝tan 30°∶1，则ma＝m，故B、C、D错误，A正确。
【针对训练3】(2022·浙江Z20联盟第二次联考)在圆心为O、半径为R的光学介质圆环内有一点光源
P，可以向纸面内各方向发光，已知OP＝R，介质折射率n＝，则从圆周上有光线射出的范围是(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)
A.πR B.πR
C.πR D.2πR
【答案】　B
【解析】　由介质的折射率可求得此光发生全反射的临界角sin C＝＝，解得C＝37°，由正弦定理得＝，解得θ＝53°或θ＝127°，如图所示
如图甲∠OPA＝53°，如图乙∠OPM＝127°，由甲图知，AB左侧光线能射出，由乙图知圆弧MN上有光线射出，由正弦定理与三角形内角和可求得∠MON＝32°，所以光线能射出的圆弧对应的圆心角为180°＋32°＝212°，则从圆周上有光线射出的范围是l＝×2πR＝πR，故B正确，A、C、D错误。
类型2　余弦定理的应用
余弦定理：在如图甲所示的三角形中，有如下三个表达式：
a2＝b2＋c2－2bc·cos A
b2＝a2＋c2－2ac·cosB
c2