人教高二1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题： 二面角（中档）同步练习（Word版含解析）.docx

《空间向量》专题12－1 二面角（中档）
（8套，8页，含答案）
如图，在三棱台ABC－DEF中，二面角B－AD－C是直二面角，AB⊥AC，AB＝3，．
（1）求证：AB⊥平面ACFD；
（2）求二面角F－BE－D的平面角的余弦值 答案：；
（1）连接，在等腰梯形中，过作交于点，因为，所以，，，所以，所以，即， 2分
又二面角是直二面角，平面，所以平面， 4分
又平面，所以，又因为，，、平面，所以平面． 6分
（2）如图，在平面内，过点作，由（1）可知，以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则，，，， 7分
所以，，设是平面的一个法向量，则，所以，
取，则，，
即， 9分
由（1）可知平面，
所以是平面的一个法向量， 10分
所以， 11分
又二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为． 12分
．
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD＝DC＝CB＝2，∠ABC＝60°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是菱形，∠CAF＝60°．
（1）求证：BF⊥AE；
（2）求二面角B－EF－D的平面角的正切值．（ 答案：；
【解析】（1）依题意，在等腰梯形中，，，
∵，∴，即，·········1分
∵平面平面，∴平面，·········2分
而平面，∴．·········3分
连接，∵四边形是菱形，∴，·········4分
∴平面，
∵平面，∴．·········6分
（2）取的中点，连接，因为四边形是菱形，且．
所以由平面几何易知，∵平面平面，∴平面．
故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：，，，，，．······7分
设平面和平面的法向量分别为，，
∵，．
∴由，令，则，··9分
同理，求得．·········10分
∴，故二面角的平面角的正切值为．·······12分
）

已知四棱锥S－ABCD，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB//DC，∠DAB＝90°，
AB＝2DC，，M是SB中点．
（1）求证：CM//平面SAD；
（2）若直线
DM与平面SAB所成角的正切值为，F是SC的中点，求二面角C－AF－D的余弦值．（ 答案：；
【解析】（1）证明：取中点，连接，，
在中，，，，，
四边形为平行四边形．·········2分
，·········3分
又平面，平面，
平面．·········4分
（2）由已知得：，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．·········5分
，，，平面，
就是与平面所成的角．
在中，，即，·········7分
设，则，，；
中，为斜边中点，，
．
则，，，，，
所以，，．
设是平面的一个法向量，则
，
令，得．·········9分
设是平面的一个法向量，则
，
令，．·········11分
．
二面角的余弦值为．·········12分
）
《空间向量》专题12－2 二面角（中档）
在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，O为AD中点，，AD＝AB＝2CD＝2.
求证：平面POB⊥平面PAC；
求二面角A－PC－D的余弦值. 答案：；
证明：由条件可知，，，
，.
，且为中点，.
，平面.
又平面，.
又，平面.
平面，平面平面.
解：以为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，
设为平面的一个法向量，
由得，解得.
令，则.
同理可得，平面的一个法向量，
二面角的平面角的余弦值.
如图，在几何体ABCDEF中，底面CDEF是平行四边形，AB//CD，，DB⊥平面CDEF，CE与DF交于点O.
（1）求证：OB//平面ACF；
（2）若平面CAF与平面DAF所成的锐二面角余弦值为，求线段DB的长度. 答案：或；
解：(Ⅰ)取中点，连接，
在中，是的中点，是的中点，
所以，
又，
所以
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
故平面.
（Ⅱ）由，，
可得，所以，
又平面，故以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，则，，
所以，，.
设平面的一个法向量，
则即，
取得，
设平面的一个法向量，
则即，
取得，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
整理得，
解得或，
所以或.