人教高二1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题： 线面角（中档） 同步练习（Word版含解析）.docx

《空间向量》专题9-1 线面角（中档）
（4套，4页，含答案）
如图(1)，在边长为2的正方形ABCD中，E是边AB的中点．将△ADE沿DE折起，如图(2)，F是折叠后AC的中点．
(Ⅰ)求证：BF∥平面ADE；
(Ⅱ)若平面ADE⊥平面BCDE，求BF与平面ABD所成角的正弦值． 答案：证明略，；
【解析】(Ⅰ)取AD中点G，连结EG，FG，
∵F为AC中点， ∴FG綊CD，BE綊CD
∴FG綊BE，从而四边形EBFG是平行四边形．(3分)
∴BF∥EG，又BF平面ADE，EG平面ADE，
∴BF ∥平面ADE.(5分)
(Ⅱ) 如图所示以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，在图(1)中作AH⊥DE于H，易求得EH＝，AH＝，
作HN⊥AE于N，HM⊥BC于M，则HN＝，HM＝，
所以A.(7分)
而B(0，0，0)，D(2，2，0)，则＝，＝(2，2，0)．
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
解得一个法向量为n＝(－，，－2)．(9分)
又C(2，0，0)，∴F，∴＝，
∵cos〈n，〉＝＝－.
∴BF与平面ABD所成角的正弦值为.(12分)
如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MN＝C1N.
（1）证明：A1E⊥平面AC1D；
（2）若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求异面直线BM与NE所成角的余弦值. 答案：证明略，；
（1）证明：由已知得为正三角形，为棱的中点，
∴，
在正三棱柱中，底面，则.
又，∴平面，∴.
易证，又，∴平面.
（2）解：取的中点，的中点，则，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，
则，
易知是平面的一个法向量，
∴，解得.
∴，，，，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
《空间向量》专题9-2 线面角（中档）
如图（1）五边形ABCDE中，ED＝EA，AB//CD，CD＝2AB，∠EDC＝150°，将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P－ABCD，如图（2），点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD.
（1）求证：BM//平面PAD.
（2）若直线PC，AB与所成角的正切值为，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值. 答案：证明略，；
（1）证明：取的中点，连接，则，
又，所以，………………………………2分
则四边形为平行四边形，所以，……………………………………3分
又因为面
所以平面……………………………………………………………………5分
（2）又平面，
∴平面，∴.
由即及为的中点，可得为等边三角形，
∴，又，∴，∴，
∴平面平面，
∴平面平面.………………………………………………………………6分
，∴为直线与所成的角，
由（1）可得，∴，∴，
设，则，
取的中点，连接，过作的平行线，
可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，…………………………………………………………………9分
所以，
设为平面的法向量，则，即，
取，则为平面的一个法向量，
∵，
则直线与平面所成角的正弦值为.………………………………12分
如图四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝PD＝4，CD＝2，，M为CD的中点，N为PB上一点，且。
（1）若MN∥平面PAD；
（2）若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为，求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值。
《空间向量》专题9-3 线面角（中档）
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，
EF＝AD＝AB．
（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；
（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值． 答案：N是CF的中点，；
解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．
证明：连结AC交BD于M，连结MN．
∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，
∵N是CF的中点，
∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，
∴AF∥平面BDN．
（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设