专题八 四边形常见模型-简单数学之2022年中考二轮专题复习（解析版）（人教版）.docx

学科网（北京）股份有限公司
专题八 四边形常见模型
一、中点四边形
例题1如图，已知△ABC，点O是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，连接OA，OB，OC，并顺次连接AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G得四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若使四边形DEFG为矩形，则OA与BC的位置关系是　 　；若使四边形DEFG为菱形，则OA与BC的数量关系　 　．
【答案】（1）见解析；（2）OA⊥BC，OA＝BC
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中位线的性质可得DGBC，DG＝BC，EFBC，EF＝BC，进而可得DGEF，DG＝EF，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由矩形的判定和菱形的判定可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DGBC，DG＝BC，
∵E、F分别是OB、OC的中点，
∴EFBC，EF＝BC，
∴DG＝EF，DGEF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：当四边形DEFG是矩形，OA⊥BC．
由三角形中位线性质得∠EDG＝90°，
学科网（北京）股份有限公司
所以平行四边形DEFG是矩形．
当OA＝BC时，四边形DEFG是菱形．
由三角形中位线性质得DE＝EF，
所以平行四边形DEFG是菱形．
故答案为：OA⊥BC，OA＝BC．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，三角形的中位线，矩形的判定，菱形的判定，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．
练****题
1．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
（1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？
【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）平行四边形；理由见解析；（3）菱形、矩形、正方形．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）连接BD，根据三角形的中位线定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求证；
（2）连接AC，DB，根据三角形的中位线定理，可得EH∥GF，EH =FG，即可求证；
（3）利用（1）的判定方法，再根据三角形的中位线定理和矩形、菱形、正方形的判定方法来判定，即可求证．
【详解】
（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下：
已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接BD，如图1：
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
学科网（北京）股份有限公司
∴EH是△ABD的中位线，
∴ ， ，
∵G是CD的中点，F是BC的中点，
∴FG是△BCD的中位线，
∴ ， ，
∴EH∥GF，EH =FG，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）任意平行四边形的中点四边形是平行四边形，理由如下：
已知平行四边形ABCD，E，N，M，F分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，DB，如图2：
∵E，F分别是DA，DC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，EF= ，
∵M，N分别是BC，AB的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AC，MN=AC，
∴EF∥MN，EF=MN，
∴四边形MNEF是平行四边形；
（3）如果原四边形为矩形，则形成的中点四边形为菱形，理由如下：
已知矩形ABCD，H，E，F，G分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，DB，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
学科网（北京）股份有限公司
∴AC=BD，
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH=BD，
∵G是CD的中点，F是BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴GF=BD，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AC，
∵G是CD的中点，H是AD的中点，
∴GH是△ACD的中位线，
∴GH= AC，
又∵AC=BD，
∴EF=GF=EH=GH，四边形EFGH是菱形；
如果原四边形为菱形，则形成的中点四边形为矩形，
理由如下；已知菱形ABCD，E，F，G，H分别是AB，，BC，CD，AD的中点，连接BD，AC，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD， ，
∵G是CD的中点，F是BC的中点，
学科网（北京）股份有限公司
∴GF是△BCD的中位线，
∴G