人教版微专题 等比数列的判定与证明 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练.docx

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微专题：等比数列的判定与证明
【考点梳理】
等比数列的四种常用判定方法
定义法
若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项
公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项
和公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列
【典例剖析】
典例1．在数列中，，，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
典例2．已知各项都为正数的数列满足， .
(1)若，求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
典例3．已知数列的前项和为，且.
(1)证明：为等比数列.
(2)若，求数列的前项和.
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【双基达标】
4．设数列满足，且，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
5．在数列中，，且.
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
6．若数列满足：，，对于任意的，都有.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
7．已知数列满足，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
8．已知数列中，，．
（1）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式；
（2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数．
9．已知数列满足：，且．设．
(1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；
(2)求数列的前2n项和．
10．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【高分突破】
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11．已知数列的前n项和满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
12．已知数列的前n项和为，且.
(1)证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
13．已知数列的前n项和为，且满．
(1)求证数列是等比数列．
(2)若数列满足求数列的前n项和．
14．设数列满足，其中.
（1）证明：是等比数列；
（2）令，设数列的前项和为，求使成立的最大自然数的值.
15．已知数列的前n项和为，，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前n项和为，已知，若不等式对于恒成立，求实数m的最大值.
16．以数列的任意相邻两项为点，的坐标，均在一次函数的图象上，数列满足，且．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列，的前项和分别为，，若，，求的值．
17．已知数列的首项为正数，其前项和满足．
(1)求实数的值，使得是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
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18．已知数列满足：，.
（Ⅰ）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求使成立的最大正整数n的值.（其中，符号表示不超过x的最大整数）
19．已知数列满足，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.
20．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，