人教第01讲 椭圆（练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）.docx

第01讲 椭圆
一、单选题
1．设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由焦点在轴上的椭圆的标准方程即可得到答案.
【详解】由题意得，，解得.故选：A.
2．与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由椭圆得，半焦距，显然椭圆焦点在x轴上，
因此双曲线的焦点为，因双曲线离心率为，令其实半轴长为a，即有，解得，则双曲线虚半轴长，
所以所求双曲线的标准方程为.故选：A
3．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意，设圆柱底面直径为，则椭圆短轴长，椭圆长轴竖直截面如下图所示：由题意及图，可知为直角等腰三角形，且，
故，椭圆的长轴长，
所以，所以椭圆的离心率.故选：C
4．已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用几何性质确定中得，利用可得的关系，即可得椭圆离心率.
【详解】解：如图，抛物线的准线与轴的交点为
因为是椭圆的左､右焦点，所以
抛物线准线为：直线，所以
因为是底角为的等腰三角形，则
则
则 ，整理得： 所以离心率.故答案为：A.
5．如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接，
因为，所以，
所以，
由椭圆的定义可得，则，
又因为，所以，
所以椭圆的方程为，故选：D
6．已知、是椭圆C：的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，且.若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
因为，所以，即，
所以为的中点，
又因为，所以，
过点O作OM⊥AB于点M，则，
根据，可得，所以，
因为A为上顶点，所以
根据双曲线定义可知：，所以，
由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：，即，
所以，故，
所以椭圆方程为：
故选：D
7．已知椭圆过点，则其焦距为（    ）
A．8 B．12 C． D．
【答案】D
【详解】将点代入椭圆方程得，解得，又，所以，焦距为.故选：D.
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，
，，（） ，
则，解之得
又
则
则，则
则，则
（当且仅当时等号成立）
则的最小值为故选：B
二、填空题
9．若椭圆  的离心率为，则实数的值等于__________．
【答案】或
【详解】设椭圆的长半轴和短半轴分别为 ，
由离心率为，可得 ，
当时， ，则 ，；
当 时，，则 ，，故答案为：或
10．已知复数满足，若为实数（i为虚数单位），则为_______.
【答案】
【详解】由得点Z是以，为焦点，长半轴长是5的椭圆，则，所以点Z的轨迹方程为.
又为实数，可设，代入轨迹方程得，故.
故答案为：
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且.若，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【详解】由题意可得：
则
∵，则，即，解得：
∴，则故答案为：.
12．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔蒙日（1746-1818）最先发现．若椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点，过和原点作直线与椭圆的蒙日圆相交于，则_________．
【答案】1
【详解】因为椭圆，所以，故，，如图，令，
因为，所以，即，
结合图象，由平面向量的知识可得，故，
两式相加得，即，即，
由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时，易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得，
所以，故.
故答案为：1.
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三、解答题
13．已知椭圆的离心率为，长轴的长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)过左焦点，作互相垂直的直线，直线与