人教第9章 平面解析几何 第1节　直线的方程.docx

第1节　直线的方程
考试要求　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).
2.直线的斜率
(1)定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α.
(2)计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝.
②若直线的方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k＝.
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0
0<α<
<α<π
k
0
k>0
不存在
k<0
2.截距和距离的不同之处
“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　　)
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　　)
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.
(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.
(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.
2.(易错题)若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为(　　)
A.0 B. C. D.不存在
答案　C
解析　因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α＝.
3.(2022·菏泽模拟)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
答案　A
解析　由题意得＝1，解得m＝1.
4.(2021·兰州模拟)已知直线l过点P(1，3)，且与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是(　　)
A.3x＋y－6＝0 B.x＋3y－10＝0
C.3x－y＝0 D.x－3y＋8＝0
答案　A
解析　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0).
由题意得解得
故直线l的方程为＋＝1，即3x＋y－6＝0.
5.(2021·郑州质检)过点P(2，－3)且倾斜角为45°的直线的方程为__________.
答案　x－y－5＝0
解析　倾斜角45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又经过点P(2，－3)，∴直线方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
6.(易错题)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________.
答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，解得a＝5.
所以直线方程为x＋y－5＝0.
考点一　直线的倾斜角与斜率
例1 (经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________.
答案　(－∞，－]∪[1，＋∞)
解析　法一　设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).
当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－].
故斜率的取值范围是(－∞