人教第9章 平面解析几何 高考难点突破课2　圆锥曲线的综合问题 第一课时　定点问题.docx

第一课时　定点问题
题型一　直线过定点问题
例1 (2020·全国Ⅰ卷)已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点.
(1)解　由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1).
则＝(a，1)，＝(a，－1).
由·＝8，得a2－1＝8，
解得a＝3或a＝－3(舍去).
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)证明　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t).
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3<n<3.
易知直线PA的方程为y＝(x＋3)，
所以y1＝(x1＋3).
易知直线PB的方程为y＝(x－3)，
所以y2＝(x2－3).
可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3).①
由于＋y＝1，
故y＝－，②
由①②可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，
结合x＝my＋n，
得(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.③
将x＝my＋n代入＋y2＝1，
得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.
所以y1＋y2＝－，y1y2＝.
代入③式，得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0.
解得n＝－3(舍去)或n＝.
故直线CD的方程为x＝my＋，
即直线CD过定点.
若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点.
综上，直线CD过定点.
感悟提升　圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数没有关系，找到定点.
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
训练1 已知点P是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，|PF1|＋|PF2|＝4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问：直线l是否过定点？证明你的结论.
解　(1)由|PF1|＋|PF2|＝4，得a＝2，
又P在椭圆上，
代入椭圆方程有＋＝1，解得b＝，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，
设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，
k1＋k2＝＝1，解得x1＝－4，与椭圆无交点，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由整理得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
Δ＝48(4k2－m2＋3)>0.
由k1＋k2＝1，整理得
(2k－1)x1x2＋(x1＋x2)＋2m－4＝0，
即(m－4k)(2m－2k－3)＝0.
当m＝k＋时，此时，直线l过P点，不符合题意；
当m＝4k时，Δ＝4k2－m2＋3>0有解，此时直线l：y＝k(x＋4)过定点(－4，0).
题型二　圆过定点问题
例2 (2021·湖南三湘名校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b≥1)的离心率为，它的上焦点到直线bx＋2ay－＝0的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P的直线l交椭圆C于A，B两点，试探究以线段AB为直径的圆是否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由.
解　(1)由题意得，e＝＝.
又a2＝b2＋c2，
所以a＝b，c＝b.
又＝，a>b≥1，
所以b2＝1，a2＝2，
故椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)当AB⊥x轴时，以线段AB为直径的圆的方程为＋y2＝.
当AB⊥y轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.
可得两圆交点为Q(－1，0).
由此可知，若以线段AB为直径的圆过定点，则该定点为Q(－1，0).
下证Q(－1，0)符合题意.
设直线l的斜率存在，且不为0，
其方程设为y＝k，代入＋x2＝1，
并整理得(k2＋2)x2－k2x＋k2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝x1x2＋x1＋x2＋1＋k2
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2
＝(1＋k2)·＋·
＋1＋k2
＝0.
故⊥，即Q(－1，0)在以线段AB为直径的圆上.
综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(－1，0).
感悟提升　1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端