人教版微专题 等差数列的判定与证明 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练.docx

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微专题：等差数列的判定与证明
【考点梳理】
等差数列的四个判定方法：①定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数；②等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2；③通项公式法：得出an＝pn＋q(p，q是常数)；④前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn(A，B是常数).
【典例剖析】
典例1．已知数列满足.
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求的通项公式.
典例2．数列满足，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和，并证明：．
典例3．已知数列中，，，且满足．
(1)设，证明：是等差数列；
(2)若，求数列的前n项和．
【巩固训练】
4．已知数列满足，且．
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（1）求数列的前三项，，．
（2）是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）求数列的通项公式．
5．数列满足，.
(1)求，；
(2)证明是等差数列，并求的通项公式.
6．已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
7．已知正项数列，其前n项和满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；
(2)数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.
8．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
9．已知数列，满足，，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和.
10．数列满足，已知．
（1）求，；
（2）若，则是否存在实数t，使为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
11．已知数列的各项均为正数，前项和为，且．
（1）求证：为等差数列；
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（2）设，求数列的前项和．
12．已知数列满足：，，且，.
（1）求，，，的值及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
13．已知数列满足，，．
(1)设，，求证：数列为等差数列；
(2)求证：，．
14．已知数列满足，其中.
（1）求证是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，若对任意的恒成立，求p的最小值.
15．已知数列的首项为3，且．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
16．记为数列{}的前项和，已知
(1)证明：{}是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最小值.
17．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列.
(1)证明：是等差数列；
(2)若可构成三角形的三边，求的取值范围.
18．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
19．已知数列中，，设数列满足：
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（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式
（3）若数列满足，求数列的前项和；
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参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）将原递推关系式变形即可证明；
（2）先求得，再用累加法即可求解.
(1)
由题，即，
是公差为4的等差数列.
(2)
，累加可得
，当时也满足上式
.
2．（1）证明见解析；（2），证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据递推公式，得到，即可证明结论成立；
（2）根据（1）的结论，先求出，再由等差数列的求和公式，得到，根据放缩法，化，再由裂项求和，即可得出结论成立.
【详解】
（1）证明：∵，
∴，化简得，
即，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知，
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所以，．
因此
．
【点睛】
本题主要考查证明数列是等差数列，考查裂项相消的方法求数列的和，属于常考题型.
3．(1)证明见详解；
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的定义可证得数列是等差数列；
（2）求出数列的通项公式，可求得数列的通项公式，可得出，再利用等比数列的求和公式可求得.