人教第4章 三角函数、解三角形 第7节　解三角形的应用.docx

第7节　解三角形的应用
考试要求　能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.(　　)
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.
2.(易错题)若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)
A.北偏东15° B.北偏西15°
C.北偏东10° D.北偏西10°
答案　B
解析　如图所示，∠ACB＝90°.
又AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°，
∴点A在点B的北偏西15°.
3.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
答案　A
解析　在△ABC中，由正弦定理得
＝，
又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，
∴AB＝＝＝50(m).
4.(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(　　)
A.＋表高 B.－表高
C.＋表距 D.－表距
答案　A
解析　因为FG∥AB，所以＝，所以GC＝·CA.因为DE∥AB，所以＝，所以EH＝·AH.又DE＝FG，所以GC－EH＝·(CA－AH)＝·HC＝·(HG＋GC)＝·(EG－EH＋GC).由题设中信息可得，表目距的差为GC－EH，表高为DE，表距为EG，则上式可化为，表目距的差＝×(表距＋表目距的差)，所以AB＝×(表距＋表目距的差)＝＋表高.
5.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝　　　m.
答案　12
解析　设塔高CD＝x m，
则AD＝x m，DB＝x m.
由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，
在△ABD中，利用余弦定理得842＝x2＋(x)2－2·x2cos 150°，解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12m.
6.(2022·菏泽模拟)轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是　　　　n mile.
答案　70
解析　设两船之间的距离为d，
则d2＝502＋302－2×50×30×cos 120°
＝4 900，
∴d＝70，即两船相距70 n mile.
考点一　解三角形的实际应用
角度1　测量距离问题
例1 如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为　　　　 m.
答案　900
解析　由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°，
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共