人教考点3-5 函数与导数应用：恒成立（存在）与不等式求参(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）.docx

考点3-5 函数与导数应用：恒成立（存在）与不等式求参
1．（2022·广东·红岭中学期中）若关于的不等式，对恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将不等式，对恒成立，转化为和，恒成立，令，利用导数法求其最小值即可.
【详解】
因为不等式，对恒成立，
当时，显然成立，
当，恒成立，
令，则，
令，
则在上成立，
所以在上递减，
则，
所以在上成立，
所以在上递减，
所以，
所以，
故选：A
2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校期中（文））已知，若∃，使，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
转化为不等式在内有解，构造函数，，求出其最小值即可得解.
【详解】
依题意可得不等式在内有解，
设，，
则，
由，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以，所以.故选：A.
3．（2022·浙江·阶段练****已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据即可得，进而可得的取值范围
【详解】
在恒成立.
当，记， 所以在单调递增，， 故
故，所以 ，
故选：C
4.（2022·江苏省扬州市教育局期末）已知，，若对，，使得，则实数的最小值为_________.
【答案】
【分析】
依题意可知，分别求出及，列式即可求解
【详解】
依题意可知
则，当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减
所以
在上单调递增，则
所以，所以，即的最小值为
故答案为：
5．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练****理））已知函数和函数
，若存在，使得成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】
利用导数可求得在上的单调性，进而确定在上的值域；由正弦型函数值域的求法可求得在上的值域；由能成立问题的求法可确定，解不等式组求得结果.
【详解】
当时，，
在上单调递增，又在上单调递减，，，
；
当时，，，，
若存在，使得成立，则，
即，解得：，实数的取值范围为.
故答案为：.
6．（江西省抚州市七校联考2021-2022学年下学期摸底考试数学（理）试题）已知，则
A． B．4 C． D．6
【答案】A
【分析】
根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，从而可到，再构造函数分析可得，从而得到，再根据基本不等式取得最值时的关系求解即可
【详解】
由题意得，因为，，所以，当且仅当时取等号，所以
，令，则，当，，单调递增；当时，单调递减，所以，当且仅当时取等号，即，所以，所以，所以，所以．
故选：A
7．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校阶段练****若存在两个正实数，使等式成立，其中是自然对数的底数，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由条件转化为，换元，令，由导数确定函数的值域即可求解.
【详解】
，
设且，设，那么，恒成立，
所以是单调递减函数，
当时，，当时，，函数单调递增，
当，，函数单调递减，
所以在时，取得最大值，，即，解得：，故选：D.
8．（2022·四川成都·期末（理））已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
构造，求导分析函数的单调性与最值可得，故函数在R上为增函数，再根据在R上恒成立求解即可
【详解】
设，则．
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增．
∴，故．
又∵对任意恒成立，∴函数在R上为增函数，
∴在R上恒成立，∴在R上恒成立，即，
∴，∴实数的取值范围为．
故选：A．
9．（2022·江苏省扬州市教育局期末）已知，，若对，，使得，则实数的最小值为_________.
【答案】
【分析】
依题意可知，分别求出及，列式即可求解
【详解】
依题意可知
则，当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减
所以
在上单调递增，则
所以，所以，即的最小值为
故答案为：
10．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练****理））已知函数和函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】
利用导数可求得在上的单调性，进而确定在上的值域；由正弦型函数值域的求法可求得在上的值域；由能成立问题的求法可确定，解不等式组求得结果.
【详解】
当时，，
在上