人教第02讲 等差数列及前n项和（讲）（解析版）.docx

第02讲 等差数列及其前n项和
本讲为高考命题热点，分值12-17分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，
选择填空题常考等差等比数列的性质，大题题型多变，但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和，对于理科考点相对难度较大，比如新定义，奇偶列等，考察逻辑推理能力与运算求解能力.

考点一 等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.
考点二 等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
考点三 等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
考点四 常用结论
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且
公差为p.
2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
高频考点一 等差数列基本量的运算
【例1】记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A.an＝2n－5 B.an＝3n－10
C.Sn＝2n2－8n D.Sn＝n2－2n
答案　A
解析　设首项为a1，公差为d.
由S4＝0，a5＝5可得解得
所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.
【例2】(2022·江南十校调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝a8＝8，则公差d＝(　　)
A. B.
C.1 D.2
答案　D
解析　∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，
∴S7＝7a4＝0，则a4＝0.∴d＝＝2.
【方法技巧】
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想
来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【变式训练】
1.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9＝－a5.
(1)若 a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1