人教第02讲 等式性质与不等式（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）.docx

第2讲 等式性质与不等式
本讲为高考重要知识点，题型主要和其他知识结合考察，属于工具型知识点，梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式-基本不等式。体会函数观点统一方程和不等式的数学思想。
考点一 等式性质与不等式的性质
1．实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b⇔a－b>0；
(2)a＝b⇔a－b＝0；
(3)a<b⇔a－b<0.
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞ (n∈N，n≥2).
考点二 基本不等式
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2 (简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
注意：
1.≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤≤.
3. (a>0，b>0).
高频考点一 等式性质与不等式性质
例1、已知，则下列结论正确的是   
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
【解答】
解：对于：当时，根式无意义，选项错误；
对于：在一个不等式两边同时加上一个实数，不等式仍成立，故B正确；
对于：，当时，不成立；
对于：当，时，，但不成立．
故选：．
【变式训练】
1．若，则下列不等式正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
对于A，若，则，所以A错误，
对于B，因为，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以C错误，
对于D，若，则，所以D错误，
故选：B
高频考点二 “1”的代换型
例2、已知x，y均为正实数，且，则x+3y的最小值为__________
【详解】x，y均为正实数,, 当时等号成立.故答案为：2.
【变式训练】
1.已知，，，则的最小值为（　　）
A．20 B．24 C．25 D．28
【答案】C
【详解】由题意，当且仅当，即时等号成立．故选：C．
2.已知，，，则的最小值为（       ）
A．13 B．19 C．21 D．27
【答案】D
【详解】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27。故选：D
3.已知正实数，b满足＋b＝1，则的最小值为_____
【详解】因为，且都是正实数.所以当且仅当时，等号成立.所以的最小值为
【做题技巧】
1.基本公式
2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。
高频考点三 “和”与“积”互消型
例3、 已知x、y都是正数，且满足，则的最大值为_________．
【答案】18.
【详解】因为，且，所以，（当且仅当时，取等号）
即，解得，所以得，
所以的最大值是.此时，.故答案为：18.
【变式训练】
1.已知，，且，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.故选：A
2.已知，且，则的最小值为___________．
【答案】6
【详解】
由，得，又，，
，即，解得：或，
又，，当且仅当，即时取等号．故答案为：6．
【基本规律】
1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如变式1；
2.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如典例分析；
3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如变式2。
高频考点四 以分母为主元构造型
例4、已知非负数满足，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．10 D．16
【答案】B
【详解】由，可得，
当且仅当取等号，故选：B
【变式训练】
1.已知，且，则的最小值为（ ）