人教版高中数学第2讲　一元二次不等式及其解法.doc

第2讲　一元二次不等式及其解法
一、知识梳理
1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为．
(2)当a<0时，解集为．
2．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1<x2)
有两个相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|x>x2或x<x1}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
常用结论
1．分式不等式的解法
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0)⇔
2．记住两个恒成立的充要条件
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔
二、教材衍化
1．不等式2x2－x－3>0的解集为________．
答案：
2．若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋m＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
常见误区(1)解不等式时变形必须等价；
(2)注意二次项的系数的符号；
(3)对参数的讨论不要忽略二次项系数为0的情况．
1．不等式－x2－2x＋3≥0的解集为________．
解析：不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.
方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.
而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
答案：{x|－3≤x≤1}
2．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为________．
解析：2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以原不等式的解集为.
答案：
3．对于任意实数x，不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：当m＝0时，mx2＋mx－1＝－1<0，不等式恒成立；当m≠0时，由解得－4<m<0.综上，m的取值范围是(－4，0]．
答案：(－4，0]
考点一　一元二次不等式的解法(基础型)
复****指导1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式．
核心素养：数学抽象、数学运算
(1)已知函数f(x)＝则不等式f(x)>3的解集为________．
(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－<x<－}，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．
(3)解关于x的不等式：12x2－ax>a2(a∈R)．
【解】　(1)由题意或解得x>1.故填{x|x>1}．
(2)由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，
所以
解得故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
故填{x|x≥3或x≤2}．
(3)因为12x2－ax>a2，
所以12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，
解集为；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；
③当a<0时，－>，
解集为.
综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x或x>}；当a＝0时，不等式的解集为{
x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.
(1)解一元二次不等式的方法和步骤
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤
①二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系