2023年高考数学二轮复习（人教版）第1部分 专题突破 专题3　第1讲　等差数列、等比数列.docx

第1讲　等差数列、等比数列
[考情分析]　1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点．
考点一　等差数列、等比数列的基本运算
核心提炼
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1.
(3)等差数列的求和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(4)等比数列的求和公式：
Sn＝
例1　(1)(2022·南通调研)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S5＝4a4，则等于(　　)
A．10 B．14 C．15 D．18
答案　C
解析　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
因为S5＝4a4，
所以5a1＋d＝4(a1＋3d)，
得a1＝2d(d≠0)，
所以＝＝＝15.
(2)(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3·a5)的值为(　　)
A．8 B．10 C．12 D．16
答案　C
解析　∵最下层的“浮雕像”的数量为a1，
依题意有，公比q＝2，n＝7，
S7＝＝1 016，
解得a1＝8，
则an＝8×2n－1＝2n＋2(1≤n≤7，n∈N*)，
∴a3＝25，a5＝27，
从而a3·a5＝25×27＝212，
∴log2(a3·a5)＝log2212＝12.
规律方法　等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为
an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列．
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．
跟踪演练1　(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于(　　)
A．14 B．12 C．6 D．3
答案　D
解析　方法一　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
由题意可得
即
解得所以a6＝a1q5＝3.
方法二　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
由题意可得
即
解得所以a6＝a1q5＝3.
(2)(多选)(2022·广东联考)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为a1，a2，a3，…，a9，设数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，且a2＝18，a4＋a6＝90，则(　　)
A．a1＝6 B．{an}的公差为9
C．a6＝3a3 D．S9＝405
答案　BD
解析　设{an}的公差为d.由a4＋a6＝90，
得a5＝45，又a2＝18，
联立方程组
解得故A错误，B正确；
因为a6＝9＋5×9＝54，a3＝9＋2×9＝27，
所以a6＝2a3，故C错误；
因为S9＝＝9a5＝405，故D正确．
考点二　等差数列、等比数列的性质
核心提炼
1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列，有aman＝apaq＝a.
2．前n项和的性质：
(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数时除外)．
(2)对于等差数列有S2n－1＝(2n－1)an.
例2　(1)(2022·南昌模拟)已知公差不为0的等差数列{an}满足a＋a＝a＋a，则(　　)
A．a6＝0 B．a7＝0
C．S12＝0 D．S13＝0
答案　C
解析　∵a＋a＝a＋a，
∴a－a＋a－a＝0，
∴2d(a7＋a5)＋2d(a8＋a6)＝0，
又d≠0，a8＋a5＝a6＋a7，
∴2(a7＋a6)＝0，
∴S12＝＝＝0.
(2)(2022·武汉质检)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项错误的是(　　)
A．0<q<1 B．a6>1
C．T12>1 D．T