人教版高中数学第3章 §3.3　导数与函数的极值、最值.docx

§3.3　导数与函数的极值、最值
考试要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
知识梳理
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(　×　)
(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(　×　)
(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(　√　)
(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(　×　)
教材改编题
1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．
2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－]∪[，＋∞)
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－，)
D．[－，]
答案　B
解析　f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
解得a>或a<－.
3．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
答案　4
解析　f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
题型一　利用导数求函数的极值问题
命题点1　根据函数图象判断极值
例1　(2022·广州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
答案　D
解析　由题图知，当x∈(－∞，－3)时，
y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．
命题点2　求已知函数的极值
例2　已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解　(1)因为f(x)＝x－1＋，
所以f′(x)＝1－，
又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，
即1－＝0，所以a＝e.
(2)由(1)知f′(x)＝1－，
当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
因此f(x)无极大值与极小值；
当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，