人教高中数学第07讲 利用导数研究双变量问题 (精讲+精练）（教师版）.docx

第07讲 利用导数研究双变量问题(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离双参，构造函数
高频考点二：糅合双参（比值糅合）
高频考点三：糅合双参（差值糅合）
高频考点四：变更主元法
高频考点五：指定主元法
高频考点六：利用根与系数的关系转单变量
高频考点七：利用对数平均不等式解决双变量问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第07讲 利用导数研究双变量问题（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题；
（3）构造关于或的新函数，同时根据已知条件确定出或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
2、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练****已知函数的定义域为，且对恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：设，因为对，当时都有恒成立，
等价于，即，
令，则，所以在上为减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
又，，且，
所以，
所以，解得，
故选：A.
2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练****文））已知函数，若且满足，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意时，是减函数，且，
时，是减函数，且，
由且得，，，，
，所以，
，
设，，
时，，是增函数，所以，即，
所以．
故选：C．
3．（2022·全国·高三专题练****若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0成立，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
由2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0得2x+a（y﹣2ex）ln0，
即2+a（2e）ln0，
即设t，则t＞0，
则条件等价为2+a（t﹣2e）lnt＝0，
即（t﹣2e）lnt有解，
设g（t）＝（t﹣2e）lnt，
g′（t）＝lnt+1为增函数，
∵g′（e）＝lne+11+1﹣2＝0，
∴当t＞e时，g′（t）＞0，
当0＜t＜e时，g′（t）＜0，
即当t＝e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）＝（e﹣2e）lne＝﹣e，
即g（t）≥g（e）＝﹣e，
若（t﹣2e）lnt有解，
则e，即e，
则a＜0或a，
故选：C．
4．（2022·全国·高二）若函数存在两个极值点，，（），则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
根据题意，是有两解，
所以，所以，
，，
由可得，
，
由可得，，则，
故选：D.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：分离双参，构造函数
1．（2022·全国·高二）设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.
【答案】14,+∞##k|k≥14
因为对任何，，
所以对任何，，
所以在上为减函数.
，，
所以恒成立，即对恒成立，
所以，
所以.
即的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
恒（能）成立问题求参数的取值范围：
①参变分离，转化为不含参数的最值问题；
②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；
③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.
2．（2021·重庆巴蜀中学高三开学考试），均有成立，则的取值范围为___________.
【答案】
不妨设，则，
由可得，
所以，
即，
所以，
令，则，
因为，所以在上单调递减，
所以对于恒成立，
所以对于恒成立，
可得对于恒成立，
所以，因为在上单调递减，
所以，
所以，
故答案为：
3．（2021·湖南省