人教高中数学第23讲 三角恒等变换（1）（解析版）.docx

第23讲 三角恒等变换（1）
【基础知识网络图】
简单的三角
恒等变换
三角恒等变换
两角和与差的
三角函数公式
倍角公式
【基础知识全通关】
1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，简记作S(α±β)；
cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ，简记作C(α±β)；
tan(α±β)＝，简记作T(α±β)．
2. 二倍角公式
sin2α＝2sinα·cosα；
tan2α＝；
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
3. 辅助角公式
y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝.
4. 公式的逆用及有关变形
tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)；
sinα±cosα＝sin(α±)；
sinα·cosα＝sin2α；
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；
1－sin2α＝(sinα－cosα)2；
sin2α＝；
cos2α＝；
tan2α＝(降幂公式)；
1－cos2α＝2sin2α；1＋cos2α＝2cos2α(升幂公式)．
【考点研****一点通】
考点01化简与求值
1. 某同学在一次研究性学****中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.
【点拨】注意到（2）中可以转换为的函数值，从（2）计算入手.
【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下
Ⅱ.证明:



【总结】例1是对公式的正用．本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想
.
【变式1-1】已知，求的值。
【答案】
【解析】
【变式1-2】已知为第二象限的角，且，则的值为.
【答案】
【解析】
又为第二象限的角，且，所以所以原式
考点02角的变换与求值
2. 求值：
（1）；（2）
【点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值.
【解析】
（1）原式=；
（2）原式=

【总结】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是p。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法。
【变式2-1】求值：
（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）原式=
=
=
（2）
考点03三角形恒等综合
3．已知，，且，求的值.
【点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑正切值的计算，同时通过估算的区间求出正确的值.
【解析】，
而，故，
又，，故，
从而，
而，，而，
，
又，
【总结】对给值求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑角的范围，然后得出满足条件的角．本例就是给值求角，关键是估算的区间，给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点．在本例中使用了配角技巧，，，这些都要予以注意.
【考点易错】
1、已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)．
【解析】　∵0＜β＜＜α＜π，∴－＜－β＜，＜α－＜π，
∴cos＝＝，
sin＝＝，
∴cos＝cos＝
coscos＋sinsin＝
×＋×＝，∴cos(α＋β)＝
2cos2－1＝2×－1＝－.
2、(1) 已知＝，则sin2x＝________．
(2) 已知，则cos4x的值为________．
【答案】：(1) －　(2) －
【解析】：(1) 因为sin2x＝cos＝cos2＝2cos2－1，
所以sin2x＝2×－1＝－1＝－．
(2) 由已知得sincos＝－，
∴ cos2＝．
∴ sin2x＝cos＝2cos2－1＝－．
∴ cos4x＝1－2sin22x＝1－＝．
3、化简：(0<θ<π)．
【解析】： 由θ(0，π)，得0<<，∴ cos>0．
因此＝＝2cos．
又(1＋sinθ＋cosθ)＝
＝2cos＝－2coscosθ．
故原式＝＝－cosθ．
【巩固提升】
1．已知，则
A． B． C．