人教高中数学第八节 第1课时 审题上——4大策略找到解题突破口 教案.doc

第八节　解析几何压轴大题的解题策略指导
第1课时　审题上——4大策略找到解题突破口
解析几何研究的问题是几何问题，研究的方法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，是突破解析几何问题难点的关键所在．突破解析几何难题，先从找解题突破口入手．
策略一　垂直关系的转化
[典例]　如图所示，已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解题观摩]　假设存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．
设直线l的方程为y＝x＋b，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立
消去y并整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
所以x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝.①
因为以AB为直径的圆过原点，所以⊥，
即x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋b，y2＝x2＋b，
则x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0.由①知，b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，
即b2＋3b－4＝0，解得b＝－4或b＝1.
当b＝－4或b＝1时，均有Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＝－4b2－24b＋36＞0，即直线l与圆C有两个交点．
所以存在直线l，其方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.
[名师微点]
(1)以AB为直径的圆过原点等价于⊥，而⊥又可以“直译”为x1x2＋y1y2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．
(2)几何关系“直角”坐标化的转化方式
①点B在以线段F1F2为直径的圆上；
②·＝0；
③kF1B·kF2B＝－1；
④勾股定理．
以上关系可相互转化．　　
[针对训练]
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，且其离心率为，过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别相交于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在圆心在原点的定圆与直线MN总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵椭圆C经过点，∴＋＝1，
又∵＝，解得a2＝4，b2＝3.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线MN的斜率不存在时，由对称性，
设M(x0，x0)，N(x0，－x0)．
∵M，N在椭圆C上，∴＋＝1，∴x＝.
∴O到直线MN的距离为d＝|x0|＝，∴x2＋y2＝.
当直线MN的斜率存在时，
设MN的方程为y＝kx＋m，
由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)
＝(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0.
∴(k2＋1)·－＋m2＝0，
即7m2＝12(k2＋1)．
∴O到直线MN的距离为d＝＝ ＝，
故存在定圆x2＋y2＝与直线MN总相切．
策略二　角平分线条件的转化
[典例]　已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，求证：直线l过定点．
[解题观摩]　(1)设动圆圆心为点P(x，y)，则由勾股定理得x2＋42＝(x－4)2＋y2，化简即得圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)证明：法一：由题意可设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)．联立得k2x2＋2(kb－4)x＋b2＝0.
由Δ＝4(kb－4)2－4k2b2＞0，得kb＜2.
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以kPB＋kQB＝0，
即kPB＋kQB＝＋＝
＝＝0，
所以k＋b＝0，即b＝－k，所以l的方程为y＝k(x－1)．
故直线l恒过定点(1,0)．
法二：设直线PB的方程为x＝my－1，它与抛物线C的另一个交点为Q′，设点P(x1，y1)，Q′(x2，y2)，由条件可得，Q与Q′关于x轴对称，故Q(x2，－y2)．
联立消去x得y2－8my＋8＝