人教版第16讲 平面向量及其应用（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第16讲 平面向量及其应用
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一、知识梳理
1.平面向量基本定理
(1)平面向量的基底
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.
(2)平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
2.平面向量的坐标
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).
(2)向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝.
(3)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
4.向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2.
5.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，
eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)向量的垂直：当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量垂直.
(3)数量积的定义：一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b, 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(4)数量积的几何意义：①投影向量：设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量__为向量a在直线l上的投影向量或投影.
②投影的数量：一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.
③两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.
6.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
7.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
8.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
考点和典型例题
1、平面向量基本定理
【典例1-1】（2022·江苏苏州·模拟预测）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设，，因为
所以有，
因此，
因为，，，
所以，
故选：B
【典例1-2】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知均为单位向量，且满足，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，同理
．
故选：B.
【典例1-3】（2022·江西·模拟预测（理））已知圆C的半径为2，点A满足，E，F分别是C上两个动点，且，则的取值范围是（       ）
A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]
【答案】C
【详解】
取EF的中点M，连接CM，则，
，
又，所以，
所以，
当且仅当向量与共线同向时，取得最大值22；向量与共线反向时，取得最小值6，
故选：C．
【典例1-4】（2022·河南·模拟预测（理））如图，在中，M为BC的中点，，则m＋