人教高中数学第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (讲）（教师版）.docx

第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：异面直线所成的角
题型二：直线与平面所成的角
角度1：求直线与平面所成角(定值问题）
角度2：求直线与平面所成角(最值问题）
角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）
题型三：二面角
角度1：求平面与平面所成角(定值问题）
角度2：求平面与平面所成角(最值问题）
角度3：已知二面角求其他参数（探索性问题）
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：异面直线所成角
设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：
①
②
知识点二：直线和平面所成角
设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；
②.
知识点三：平面与平面所成角（二面角）
（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．
（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：
①；
②
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广西南宁·一模（理））在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练****在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为，所以，因为平面，平面，
所以，以为空间直角坐标系的原点，以所在的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，，
，，，
设平面的法向量为，
所以有，
设直线与平面所成角为，
所以，
故选：B
3．（2022·全国·高二）点A，B分别在空间直角坐标系O-xyz的x，y正半轴上，点C（0，0，2），平面ABC的法向量为，设二面角C—AB—O的大小为θ，则cosθ的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
设平面ABO的法向量为，设，
则，于是有：，
因此，
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练****在三棱锥中，，，平面，点M，N分别为，的中点，，Q为线段上的点（不包括端点A，B），若使异面直线与
所成角的余弦值为，则（       ）
A．或4 B． C． D．
【答案】D
如图,在三棱锥中, , ,∴.
∵PB⊥平面ABC,以B为原点,为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
可知,.因为，所以,所以PB=4,则P(0，0，4).设,且0<λ<1,则,可知，
所以,
，
因为异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为,
所以
解得：或（舍去）.
所以.
故选：D
5．（2022·全国·高二）在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
，且，
平面，
易证平面，则与平面所成角为，
，
当取得最小值时，取得最大值
在等腰中，
当为的中点时，取得最小值.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，
即
令，得.
因为，所以与平面所成角的正弦值为.
故选：C
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：异面直线所成的角
典型例题
例题1．（2022·江苏泰州·高二期末）在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：，
则，
，
，
，
，
，
所以，
故选：D
例题2．（2022·安徽·高二期末）直角梯形中，是边的中点，将三角形沿折叠到位置，使得二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
建如图所示空间直角坐标系，得，，所以，所以.
故选：D
例题3．（2022·广西·高三阶段练****文））某圆锥的正视图如图所示，为该圆锥的顶点，分别是圆锥底面和侧面上两定点