人教高中数学第21讲 函数不等式放缩（解析版）.docx

第21讲 函数不等式放缩
1．已知函数．
（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明：．
【解析】（本题满分14分）
解：（Ⅰ），是函数的极值点，即，所以．（2分）
于是函数，，
由，可得，
因此，当时，；当时，，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增． （6分）
（Ⅱ）当时，对于任意，恒成立，又，恒成立，
，即，
．
即．
2．已知函数．
（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明：．
【解析】解：（Ⅰ），
，，
是函数的极值点，
（1），解得．
，定义域为，
，，
是的唯一零点，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
（Ⅱ）证明：当，时，，
又，．
取函数，，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
得函数在时取唯一的极小值即最小值为（1）．
，
而上式三个不等号不能同时成立，故．
3．已知函数．
（Ⅰ）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明：．
【解析】（Ⅰ）解：，
，
由是函数的极值点得（1），
即，．　　　（2分）
于是，，
由知在上单调递增，且（1），
是的唯一零点．（4分）
因此，当时，，递减；
时，，递增，
函数在上单调递减，在上单调递增．（6分）
（Ⅱ）证明：当，时，，
又，．　（8分）
取函数，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，得函数在时取唯一的极小值即最小值为（1）．　（12分）
，
而上式三个不等号不能同时成立，故．（14分）
4．设，函数
（1）求的单调区间；
（2）证明：在上仅有一个零点；
（3）若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行是坐标原点），证明：．
【解析】解：（1），
，
在上为增函数．
（2）证明：，，
，即，
，，
，，即，
且由（1）问知函数在上为增函数，
在上有且只有一个零点．
（3）证明：，
设点，则），
在点处的切线与轴平行，
，即：，
，
将代入得．
，
，
要证，即证，
需要证，
即证，
因此构造函数，
则，由得．
当时，，
当时，，
的最小值为，
，
，
，
即：，
．
5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：．
【解析】（1）解：因为，
求导，，
①当时，恒成立，此时在上单调递增；
②当，由于，所以恒成立，此时在上单调递增；
③当时，令，解得：．
因为当，、当，，
所以在上单调递增、在，上单调递减．
综上可知：当时在上单调递增，
当时，在上单调递增、在，上单调递减；
（2）证明：由（1）可知：当时在上单调递增、在，上单调递减，
所以当时函数取最大值．
从而要证，即证，
即证，即证．
令，则，问题转化为证明：．
令，则，
令可知，则当时，当时，
所以在上单调递增、在上单调递减，
即（2），即式成立，
所以当时，成立．
6．已知函数为自然对数的底数）．
（1）求函数的最小值；
（2）若，证明：．
【解析】解：（1），，令，得．
当时，，当时，．函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增．当时，有最小值1．
（2）证明：由（1）知，对任意实数均有，即．令，，2，，
则，．
即．，
．
，
．
7．已知函数为自然对数的底数）．
（1）求的最小值；
（2）设不等式的解集为，且，求实数的取值范围；
（3）设，证明：．
【解析】（Ⅰ）解：的导数．
令，解得；令，解得．
从而在内单调递减，在内单调递增．
所以，当时，取得最小值1．
（Ⅱ）解：因为不等式的解集为，且，所以对于任意，，不等式恒成立．
由，得．
当时，上述不等式显然成立，故只需考虑，的情况．
将变形为，
令，则的导数，
令，解得；令，解得．
从而在内单调递减，在内单调递增．
当时，取得最小值，
实数的取值范围是．
（Ⅲ）证明：
由（Ⅰ）得，对于任意，都有，即．
令，则．，2，，
即，2，．．
，．
8．已知函数，其中为实常数．
（1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围；
（2）证明：当时，；
（3）求证：．
【解析】解：（1）由题意
则
即在，上单调递增，
，
，；
（2）即证，，，
设，
在，上单调递减，
，
，，；
（3）利用，，，
令，得：
，
，
，
，
累加得：，
当时，；
9．已知函数