人教高中数学解密07 任意角的三角函数、诱导公式及恒等式（解析版）.docx

解密07讲：任意角的三角函数、诱导公式与恒等式
【考点解密】
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝αr
扇形面积公式
S＝lr＝αr2
3.任意角的三角函数
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
三个三角函数的性质如下表：
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sin α
R
＋
＋
－
－
cos α
R
＋
－
－
＋
tan α
{α|α≠kπ＋，k∈Z}
＋
－
＋
－
4．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α .
5．三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
6．常见特殊角的三角函数值
n
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
0
2π
sin
0
1
0
-1
0
cos
1
0
-
-
-
-1
0
1
0
1
-
-1
-
0
0
7．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1) sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2) cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
(3) tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ．
8．二倍角公式
(1)基本公式：
①sin 2α＝2sin αcos α；
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝.
(2)公式变形：
由cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得
降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；
升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
9．辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). （其中）
＝cos(x—φ). （其中）
【方法技巧】
1．求三角函数值
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
2．同角三角函数基本关系式的应用
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
3．诱导公式
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用