人教高中数学第二节 第3课时 难点专攻夺高分——函数性质的综合应用 教案.doc

第3课时　难点专攻夺高分——函数性质的综合应用
题型一　函数性质的交汇应用问题
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．
考法(一)　单调性与奇偶性相结合
[例1]　(2021·石家庄模拟)已知偶函数fx＋，当x∈时，f(x)＝x＋sin x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则(　　)
A．a<b<c　　　　　　　 B．b<c<a
C．c<b<a D．c<a<b
[解析]　∵当x∈时，y＝sin x单调递增，y＝x也为增函数，∴函数f(x)＝x＋sin x也为增函数．∵函数f为偶函数，∴f＝f，f(x)的图象关于x＝对称，∴f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，∵0<π－3<1<π－2<，∴f(π－3)<f(1)<f(π－2)，即c<a<b，故选D.
[答案]　D
[方法技巧]
函数单调性与奇偶性的综合常利用奇偶函数的图象的对称性，以及奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解．　　
考法(二)　奇偶性与周期性相结合
[例2]　(1)(2021·扬州第一中学期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，则f＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
(2)(2021·淮北模拟)定义在R上的函数f(x)为奇函数，f(1)＝1，又g(x)＝f(x＋2)也是奇函数，则f(2 020)＝________.
[解析]　(1)因为f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的函数，所以f＝f＝f，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f＝－f＝ －＝
eq \f(9,4)，所以f＝.故选D.
(2)∵g(x)＝f(x＋2)是奇函数，
∴g(－x)＝f(－x＋2)＝－f(x＋2)．
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴－f(x＋2)＝f(－x－2)，
∴f(－x＋2)＝f(－x－2)＝f(－x＋2－4)，
∴f(x)＝f(x－4)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
∴f(2 020)＝f(4×505＋0)＝f(0)＝0.
[答案]　(1)D　(2)0
[方法技巧]
函数周期性与奇偶性的综合多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的定义域内求解．　　
考法(三)　单调性、奇偶性与周期性的综合
[例3]　定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log (1－x)，则f(x)在区间内是(　　)
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
[解析]　当x∈时，由f(x)＝log (1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在区间上也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.
[答案]　D
[方法技巧]
对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．　　
[针对训练]
1．设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0<x<2时，f(x)＝ －ln x，则e的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　因为函数以4为周期，
所以f＝f(－4)＝f＝－f＝ln，
所以e＝e＝.故选D.
2．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(2 020)＋f(2 021)的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：选D　∵f(x)的图象关于x＝1对称，
∴f(2－x)＝f(x)．
∵函数f(x)为(－∞，＋∞)上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，
∴f(4－x)＝－f(2－x)＝f(－x)，∴周期T＝4.
∵x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，∴f(1)＝21－1＝2－1＝1.
又函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.