人教高中数学专题25 计数原理(解析版).docx

专题25 计数原理
【考纲要求】
理解分类计数原理与分步计数原理，培养学生的分析概括能力。
理解排列组合的意义，会用排列数和组合数的公式
理解二项式的性质，掌握多项式展开式的特殊项和系数问题
一、两种计数原理
【思维导图】
【考点总结】
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，
那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，
那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系
两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言
区别一
每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏
二、排列与组合
【思维导图】
【考点总结】
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
2.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝
(2)C＝＝＝
性质
(3)0！＝1；A＝n！
(4)C＝C；C＝C＋C
三、二项式定理
【思维导图】
【考点总结】
1. 二项式定理
，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.
(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.
(4)二项式的系数从，，一直到，.
3. 二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.
(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．
当是偶数时，中间的一项取得最大值．
当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，
4.二项式定理的应用
（1）求某些多项式系数的和；
（2）证明一些简单的组合恒等式；
（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；
（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：
①；②；
（5）证明不等式.
【题型汇编】
题型一：两种计数原理
题型二：排列与组合
题型三：二项式定理
【题型讲解】
题型一：两种计数原理
一、单选题
1．（2022·浙江·杭州四中高二期中）甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（    ）种.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】每个冠军都有3种可能，因为有四项比赛，根据乘法原理，可得冠军获奖者的可能情况．
【详解】解：由题意，每项比赛的冠军都有3种可能，
因为有四项比赛，所以冠军获奖者共有种可能
故选：C．
2．（2022·福建·厦门海沧实验中学高二期中）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（    ）
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
【答案】B
【分析】由题可得当A拿贺卡b时有三种不同的分配方式，利用分类加法计数原理即得；或利用分步乘法计数原理，
A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法，进而即得.
【详解】解法1：设四人A、B、C、D写的贺卡分别是a、b、c、d，
当A拿贺卡b，则B可拿a、c、d中的任何一张，即B拿a，C拿d