人教专题2.2 基本不等式及其应用 2022年高考数学一轮复习讲练测（讲）解析版.docx

专题2.2 基本不等式及其应用
新课程考试要求
1.探索并了解基本不等式的证明过程．
2. 掌握基本不等式 (a，b＞0)及其应用..
核心素养
培养学生数学运算（例1.2.3.4.5）、数学建模（例5）、逻辑推理（例1.2.3.4）等核心数学素养.
考向预测
1.利用基本不等式求最值
2.利用基本不等式解决实际问题
3.基本不等式的综合应用
【知识清单】
1．重要不等式
当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
2．基本不等式
当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．
3．基本不等式与最值
已知x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．
4.常用推论
（1）（）
（2）（，）；
（3）
【考点分类剖析】
考点一 ：利用基本不等式证明不等式
例1.（2021·山西高三二模（文））证明：；
【答案】证明见解析.
【解析】
由不等式，令，则有，即可证得.
例2.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.
【答案】见解析
【解析】∵，，，
∴.同理，.∴
＝，当且仅当，即时取“＝”．
∴，当且仅当时等号成立．
【方法技巧】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
【变式探究】
1.求证:
【答案】见解析
【解析】证明:由基本不等式和得
=
当且仅当即时取等号.
2.已知、、都是正数，求证：
【答案】见解析
【解析】∵、、都是正数
∴ （当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
∴（当且仅当时，取等号）
即.
考点二：利用基本不等式求最值
例3.【多选题】（2021·辽宁葫芦岛市·高三一模）设正实数a，b满足，则（ ）
A．有最小值4 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值
【答案】ACD
【解析】
根据基本不等式结合不等式的性质判断．
【详解】
因为且，
所以，当且仅当时等号成立，即的最大值为，
，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确．
故选：ACD．
例4.（2021·浙江高三月考）若正实数，满足，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
由已知不等式可解得，换元，设，则所求式变形为，利用函数的单调性可得的最小值，从而得结论．
【详解】
因为正实数，满足，所以，解得或，而均为正数，所以，设，
则，
时，由不等式，当且仅当时等号成立知在上单调递增，又，所以时，取得最小值，
所以的最小值是．
故答案为：．
【规律方法】
利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
①