人教高中数学专题10 解三角形问题（练）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题 10 解三角形问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·贵州贵阳·高三阶段练****文））秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在中，分别为内角所对应的边，其公式为：若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理可得，由余弦定理可得，在结合已知“三斜求积术”即可求的面积.
【详解】解：因为，由正弦定理得：，则
又由余弦定理得：
则由“三斜求积术”得.
故选：D.
二、填空题
2．（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练****某人从山的一侧点看山顶的仰角为，然后沿从到山顶的直线小道行走到达山顶，然后从山顶沿下山的直线小道行走到达另一侧的山脚处在同一水平面内，山顶宽度忽略不计），则其从点看山顶的仰角的正弦值为__________，的最大值为__________．
【答案】     ##0.75    
【分析】由题意，作图，根据三角函数的定义以及图形关系，可得答案.
【详解】由题意，设山顶为点，过点作垂直与所在的水平面，如下图所示：
则，，，
在中，，；
在中，，易知为从点看山顶的仰角，即从点看山顶的仰角的正弦值为；
在中，，
由图可知，，当且仅当时等号成立，故的最大值为.
故答案为：；.
三、解答题
3．（2022·安徽·高三阶段练****记的内角所对的边分别为，已知.
(1)求证：
(2)若的面积，求的最大值，并证明：当取最大值时，为直角三角形.
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】(1)利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求解；(2)利用三角形的面积公式结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）
证明：由，
得，
代入，得，
所以，
由余弦定理，得，
所以，
所以.
（2）由(1)知，
所以的面积，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为.
下面证明当，即时，为直角三角形.
把代入，得，
两边平方，得，所以，
因为，所以，即，
所以为直角三角形.
4．（2022·广东·广州市第十七中学高三阶段练****在中，，点D在BC边上，，为锐角．
(1)求BD；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据余弦定理进行求解即可；
（2）根据两角和的正弦、余弦公式、余弦定理，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式和余弦公式进行求解即可.
【详解】（1）在中，
由余弦定理可知：
所以，或，
当时，因为为锐角，所以，
由余弦定理可知：，不符合题意；
当时，因为为锐角，所以，
由余弦定理可知：，符合题意，
因此；
（2）由（1）可知，
因为为锐角，所以，
因为，所以，
，
，
因为，
所以，
因此，
，
所以
.
5.（2022·上海松江·一模）在三角形中，内角，，所对边分别为，，，已知
；
(1)求角的大小；
(2)若，三角形的面积为，求三角形的周长；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，代入化简可得.
（2）利用面积公式可得，，再根据余弦定理求解进而可得边长.
【详解】（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，，可得．又因为，可得．
（2）由题意，，故，即，故，由余弦定理，解得.
故三角形的周长为
6．（2022·四川·石室中学高三期中（文））已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)设的内角所对的边分别为，若，求的值.
【答案】(1)最小正周期为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，求出最小正周期；
（2）在第一问的基础上，求出，由余弦定理得到，得到，，故，求出.
【详解】（1）因为，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，所以.
又，所以，故，解得：.
因为，所以.
由余弦定理，得，
即，则，
所以，
所以，则，.
所以.
7．（2022·山东·汶上县第一中学高三阶段练****在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，.
(1)求角A的值；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)或3
【分析】（1）根据条件代入化简，结合正弦定理即可求得结果；
（2）根据余弦定理求得边，然后结合三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】（1）因为，
所以，因为，
所以，解得，
在中，因为，所以A为锐角，所以；
（2）因为，
所以，解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积为或