人教高中数学专题28 圆锥曲线求范围及最值六种类型大题100题(解析版).docx

专题28 圆锥曲线求范围及最值六种类型大题100题
类型一:距离或长度关系的范围最值1-20题
1．在平面直角坐标系中，直线与椭圆相交于、两点，与圆相交于、两点．
（1）若，求实数的值；
（2）求的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）求出圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可求得的值；
（2）设、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出关于的表达式，利用勾股定理可求得关于的表达式，再利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
（1）
解：因为，且圆的半径为，所以点到直线的距离．
所以，解得．
（2）
解：设、，由，消整理得，
，所以，，
所以
．
设圆心到直线的距离为，
所以，
所以．
，则，所以，.
所以的取值范围为．
2．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B两点. 求的取值范围．
【答案】（1）y2＝4x；（2）．
【分析】
（1）写出直线l方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式列方程得出的值.
（2）设C(x0，y0)，得出圆C的方程，令，利用韦达定理可得出关于的表达式，从而得出的取值范围.
【详解】
解：（1）直线l的方程为，联立，消去y整理得.
设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为，则，故直线l被抛物线E截得的线段长为，得p＝2，
∴抛物线E的方程为y2＝4x.
（2）由（1）知，F(1，0)，设C(x0，y0)，则圆C的方程是
令，得.
又∵，∴恒成立．
设
则，.
∵，∴∈．
∴的取值范围是．
3．已知抛物线，过点作直线､，满足与抛物线恰有一个公共点，交抛物线于､两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与抛物线和相切于点，且､的斜率之和为0，直线､分别交轴于点､，求线段长度的最大值.
【答案】
（1）或或.
（2）
【分析】
（1）由题设有，设为，讨论、并根据直线与抛物线交点个数确定k值，即可写出直线方程.
（2）设直线为，则为，联立抛物线，由直线与抛物线的关系及求k的范围，再应用韦达定理求、及点纵坐标，进而写出直线､方程，求､横坐标，结合二次函数的性质求长度的最大值.
（1）
由题设，抛物线为，且的斜率一定存在，令为，
∴，当时显然满足题设，此时，
若，则，可得或，
综上，为或或.
（2）
由题设，显然的斜率存在且不可能为0，设为，则为，
∵与抛物线和相切于点，联立方程并整理得，
∴，可得，易知，
联立与抛物线可得：，则，
∴，，且，
∵在抛物线上，故，，则，
∴直线：，则，同理，
∴，又，
故当时，.
4．已知椭圆的长轴长是，以其短轴为直径的圆过椭圆的焦点
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，线段的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值是，求的最小值；
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）结合题意可得，解方程组，进而可求出结果，
（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示出点Q的纵坐标，进而求出的范围，从而结合弦长公式即可求出结果.
（1）
由题意可得，解得，所以椭圆E的方程为；
（2）
椭圆E左焦点为，
设过椭圆E左焦点的直线为（存在且不为0），
，则，设，
则，且
所以的中点为，
因此线段的垂直平分线为，令，则的纵坐标为，因为与轴交于负半轴，所以，又因为点Q的纵坐标的最大值是，所以，即，
而
当时，；
5．在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和．
（1）求点P的轨迹C；
（2）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值．
【答案】
（1）答案见解析
（2）
【分析】
（1）利用直接法求解即可；
（2）由题意及解析式画出图形，利用直线与曲线的轨迹方程联立，通过图形讨论直线与轨迹的交点，利用两点间的距离公式求解即可
（1）
设点P的坐标为（x，y），
由题设则①
当x＞2时，由①得，
化简得．
当x≤2时由①得
化简得
故点P的轨迹C是椭圆C1：在直线x=2的右侧部分
与抛物线C2：在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，
（2）
易知直线与的交点都是，
直线的斜率