人教高中数学专题36 利用正态分布的对称性求概率或参数值(解析版).docx

专题36 利用正态分布的对称性求概率或参数值
一、多选题
1．给出下列命题，其中正确命题为（ ）
A．若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，则回归直线的方程为
B．随机变量，若，，则
C．随机变量服从正态分布，，则
D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
【答案】ABD
【分析】
利用点斜式方程得出回归直线方程，了判断A选项的正误；利用二项分布的期望和方差公式可判断B选项的正误；利用正态密度曲线的对称性可判断C选项的正误；利用独立性检验的基本思想可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，
则回归直线方程为，即，A选项正确；
对于B选项，随机变量，
若，，则，解得，B选项正确；
对于C选项，由于随机变量服从正态分布，
，则，C选项错误；
对于D选项，对于独立性检验，随机变量的观测值值越大，则两变量有关系的程度越大，即越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，
故越小，判定“两变量有关系”的错误率更高，D选项正确.
故选：ABD.
2．若随机变量，，其中，下列等式成立有( )
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义，，由此可解决问题．
【详解】
随机变量服从标准正态分布，
正态曲线关于对称，
，，根据曲线的对称性可得：
A.，所以该命题正确；
B.，所以错误；
C.，所以该命题正确；
D.或，所以该命题错误．
故选：．
【点睛】
本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分X服从正态分布N，则下列说法正确的有( ).
参考数据：①；②；③
A．这次考试标准分超过180分的约有450人
B．这次考试标准分在内的人数约为997
C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为
D．
【答案】BC
【分析】
根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.
【详解】
选项A；因为正态分布曲线关于对称，
所以这次考试标准分超过180分的约有人，故本说法不正确；
选项B：由正态分布N，可知：，
所以，
因此这次考试标准分在内的人数约为人，故本说法正确；
选项C：因为正态分布曲线关于对称，
所以某个人标准分超过180分的概率为，
因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为，故本说法正确；
选项D：由题中所给的公式可知：
，
，
所以由正态分布的性质可知：
所以本说法不正确.
故选：BC
【点睛】
本题考查了正态分布的性质应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
4．下列判断正确的是（ ）
A．若随机变量服从正态分布，，则
B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件
C．若随机变量服从二项分布：，则
D．是的充分不必要条件
【答案】ACD
【分析】
根据正态分布的对称性可判断选项A；由线面垂直可以得线线垂直，， ，与位置关系不确定，无法得到，可判断选项B；根据二项分布均值公式求解可判断选项C；由可得到，但反之不成立，可判断选项D.
【详解】
对于A ：随机变量服从正态分布，所以正态密度曲线关于直线对称，又因为，所以，所以，故选项A正确；
对于B：若， ，则，又因为，所以，若，当时，与位置关系不确定，所以无法得到，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项B不正确；
对于C：因为随机变量服从二项分布，所以，故选项C正确；
对于D：由可得到，但，时得不到，故选项D正确.
故选：ACD
【点睛】
本题考查正态分布的概率，二项分布的期望，线面之间的关系，不等式的性质，属于中档题.
5．下列说法中正确的是（ ）
A．设随机变量X服从二项分布，则
B．已知随机变量X服从正态分布且，则
C．；
D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大
【答案】ABD
【分析】
对于选项都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项根据方差的性质，即可判断选项C.
【详解】
对于选项设随机变量，
则，
所以选项A正确；
对于选项因为随机变量，
所以正态曲线的对称轴是，
因为，所以，
所以，所以选项B正确；
对于选项，
，故选项C不正确；
对于选项由题意可知，，
，
由一次