人教专题13解析几何 13.3椭圆 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十三 《解析几何》讲义
13.3 椭圆
知识梳理.椭圆
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
2．椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
3．椭圆的几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
对称性
关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称
顶点坐标
　(a,0)，(－a,0)，
　(0，b)，(0，－b)
　(b,0)，(－b,0)，
　(0，a)，(0，－a)
焦点坐标
(c,0)，(－c,0)
(0，c)，(0，－c)
半轴长
长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b
离心率
e＝
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
题型一. 椭圆及其性质
1．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(−25，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为　x236+y216=1　．
【解答】解：由题可知，c=25，
过点P作PM垂直x轴于M，设|OM|＝t，则|FM|=25−t，
由勾股定理知，|PM|2＝|OP|2﹣|OM|2＝|PF|2﹣|FM|2，即(25)2−t2=42−(25−t)2，解得t=655，
∴|PM|=(25)2−t2=855，
∴点P的坐标为（−655，855），
设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），则(−655)2a2+(855)2b2=1，化简得365a2+645b2=1，
又a2＝b2+c2＝b2+20，∴a2＝36，b2＝16，
∴椭圆的标准方程为x236+y216=1．
故答案为：x236+y216=1．
2．平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为33．过点F1的直线l与C交于A、B两点，且△ABF2周长为43，那么C的方程为（　　）
A．x23+y2=1 B．x23+y22=1
C．x212+y24=1 D．x212+y28=1
【解答】解：如图，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)．
∵△ABF2周长为43，∴4a=43，得a=3．
又e=ca=33，∴c＝1．
则b2＝a2﹣c2＝2．
∴椭圆C的方程为：x23+y22=1．
故选：B．
3．（2019·全国3）设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为　（3，15）　．
【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：x236+y220=1的a＝6，b＝25，c＝4，
e=ca=23，
由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，
即有6+23m＝8，即m＝3，n=15；
6−23m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．
可得M（3，15）．
故答案为：（3，15）．
4．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2的直线与C交于A，B两点．若2|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝2|BF2|，则C的方程为（　　）
A．x22+y2=1 B．x23+y22=1
C．x24+y23=1 D．x25+y24=1
【解答】解：设|BF2|＝2m，则|AF2|＝3m，|BF1|＝4m，
由椭圆的定义可知：|BF1|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|＝6m，所以|AF1|＝3m，
故点A在椭圆的上（下）顶点处，不妨设点A在上顶点处，则A（0，b），
设B点的坐标为（x，y），
则由2|AF2|＝3|F2B|可得：AF2→=32F2B→，即（1，﹣b）=32(x−1，y)，
解得x=53，y=−23b，即B（53，−23b），
代入椭圆方程可得：259a2+4b29b2=1，解得a2＝5，
所以b2＝a2﹣c2＝5﹣1＝4，
故椭圆的方程为：x25+y24=1，
故选：D．
5．已知点A（1，1）而且F1是椭圆x29+y25=1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF1|+|PA|的最大值和最小值．
【解答】解：∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6
∴|PF1|＝6﹣|PF2|
∴|PF1|+|PA|＝6﹣|PF2|+|PA|＝6+（|PA|﹣|P