人教高中数学专题17 直线与圆及相关的最值问题（练）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题17直线与圆及相关的最值问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知点Q在圆C：上，点P在直线上，则PQ的最小值为（    ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】先将圆C变形，求出圆心与半径，再由圆到直线的最小距离求法求出值，再减去半径即可求出直线上的点到圆的最小距离.
【详解】圆中圆心为，半径，
圆心到直线的距离：，
则，
故选：A．
2．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）圆与圆公共弦长为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，求出圆的圆心到公共弦的距离，再由
公共弦长公式求出答案即可.
【详解】联立两个圆的方程，
两式相减可得公共弦方程，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为.
故选:.
3．（2023·安徽·校联考模拟预测）抛物线的准线被圆所截得的弦长为（    ）
A．1 B． C． D．4
【答案】D
【分析】先求出抛物线的准线方程，再求出圆心到直线的距离，从而可得出答案.
【详解】抛物线的准线方程为：
圆的圆心，半径为
圆的圆心到直线的距离为
所以直线被圆所截得的弦长为
故选：D
4．（2022秋·浙江宁波·高三校联考期末）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设斜率为，则直线方程为，圆心到直线的距离小于等于半径，即可得到不等式，解得即可.
【详解】解：依题意直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，
所以圆心到直线的距离小于等于半径，即，解得或，
即.
故选：A
5．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）过直线上任意一点，总存在直线与圆相切，则k的最大值为（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据题意，设为直线上任意一点，判断点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得的最大值.
【详解】设为直线上任意一点
因为过直线上任意一点，总存在直线与圆相切
所以点在圆外或圆上，
即直线与圆相离或相切，
则，即，解得，
故的最大值为.
故选：A.
6．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【分析】由平行四边形法则易得，可知，可判断点的轨迹为以线段为直径的圆.
【详解】设为线段的中点，.因为，所以，所以，所以，当点在点或时也满足，所以点的轨迹为以线段为直径的圆.
故选: A.
7．（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（    ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用向量数量积的定义得，再根据抛物线的定义可得，进而可求解.
【详解】，
当即点为坐标原点时，取最小值，
故选:B.
二、多选题
8．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则有（    ）
A．长度的最小值为
B．不存在点使得为
C．当最小时，直线的方程为
D．若圆与轴交点为，则的最小值为28
【答案】BD
【分析】由题知圆的圆心为，半径为，进而根据圆的切线问题依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由题知圆的圆心为，半径为，
对于A，因为圆心到直线的距离为，所以，故，故A错误；
对于B，假设存在点使得为，如图，则，故在中，，由A选项知，故矛盾，即不存在点使得为，故B正确；
对于C，由于,故四边形的面积为，
所以，，故当最小时，最小，由A选项知，此时，，即直线的斜率为，由于直线的斜率为，故C错误；
对于D，由题知，设，则，当且仅当时等号成立，故的最小值为，故D正确；
故选：BD
三、填空题
9．（2023·北京顺义·统考一模）已知圆，点A、B在圆M上，且为的中点，则直线的方程为_____________．
【答案】
【分析】根据垂径定理得到，根据两直线垂直时斜率的关系得到，
然后利用斜截式写直线方程，最后整理为一般式即可.
【详解】可整理为，
所以圆心为，根据垂径定理可得，，
所以，直线AB的方程为整理得.
故答案为:
10．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为________.
【答案】
【