人教专题3.3 导数与函数的单调性-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题3.3 导数与函数的单调性-重难点题型精讲
1．函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导
f′(x)>0
f (x)在(a，b)内单调递增
f′(x)<0
f (x)在(a，b)内单调递减
f′(x)＝0
f (x)在(a，b)内是常数函数
2．函数值变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.
常见的对应情况如下表所示.
【题型1 不含参函数的单调性】
【方法点拨】
确定不含参函数的单调性、单调区间的步骤：
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间；
(4)由此可得出函数f (x)的单调性；
【例1】（2022•扬州开学）下列函数中，在（1，+∞）上为增函数的是（　　）
A．y＝x3﹣3x B．y＝lnx﹣x C．y＝x+4x D．y＝x2﹣3x+1
【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x3﹣3x，其导数y′＝3x2﹣3，在区间（1，+∞）上，y′＞0，函数为增函数，符合题意，
对于B，y＝lnx﹣x，其导数y′=1x−1=1−xx，在区间（1，+∞）上，y′＜0，函数为减函数，不符合题意，
对于C，y＝x+4x，其导数y′＝1−4x2，在区间（1，2）上，y′＜0，函数为减函数，不符合题意，
对于D，y＝x2﹣3x+1是二次函数，在区间（1，32）上为减函数，不符合题意，
故选：A．
【变式1-1】（2022春•湖北期末）函数f（x）=−12x2﹣lnx的递减区间为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）
【解题思路】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求．
【解答过程】解：f′（x）＝﹣x−1x＜0，x＞0，
故函数的单调递减区间为（0，+∞）．
故选：D．
【变式1-2】（2022春•长寿区期末）函数f(x)=x−6x−5lnx的单调递减区间为（　　）
A．（0，2） B．（2，3） C．（1，3） D．（3，+∞）
【解题思路】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．
【解答过程】解：∵f(x)=x−6x−5lnx，定义域是（0，+∞），
∴f′（x）＝1+6x2−5x=x2−5x+6x2=(x−2)(x−3)x2，
令f′（x）＜0，解得2＜x＜3，
故f（x）的递减区间是（2，3），
故选：B．
【变式1-3】（2022春•吉林期末）函数f（x）＝﹣lnx+x的递增区间是（　　）
A．（﹣∞，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，0）和（1，+∞）
C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
【解题思路】先写出函数的定义域，求导后，再解不等式f'（x）＞0，即可．
【解答过程】解：因为f（x）＝﹣lnx+x，所以f'（x）=−1x+1，定义域为（0，+∞），
令f'（x）＞0，则−1x+1＞0，解得x＞1，
所以f（x）的递增区间为（1，+∞）．
故选：C．
【题型2 含参函数的单调性】
【方法点拨】
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
【例2】（2022春•巴宜区校级期末）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+b．
（1）若函数f（x）在x＝1处取得极小值﹣4，求实数a，b的值；
（2）讨论f（x）的单调性．
【解题思路】（1）根据题可得f'(1)=0f(1)=−4，解得a，b．
（2）求导并令f′（x）＝0，得x＝0或x=a3，分三种情况：当a＝0时，当a＜0时，当a＞0时，讨论f（x）的单调性．
【解答过程】解：（1）f′（x）＝6x2﹣2ax，
则f'(1)=0f(1)=−4，即6−2a=02−a+b=−4，
解得a=3b=−3．
（2）f′（x）＝6x2﹣2ax＝2x（3x﹣a），
令f′（x）＝0，得x＝0或x=a3，
当a＝0时，f′（x）≥0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，
当a＜0时，在（﹣∞，a3），（0，+∞）上f′（x