人教专题07 三角函数 7.2三角恒等变换 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题七 《三角函数》讲义
7.2 三角恒等变换
知识梳理.三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ．
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ．
S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．
T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
T(α－β)：tan(α－β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2α：sin 2α＝2sinαcosα．
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
T2α：tan 2α＝.
3．辅助角公式
asinwx+bcoswx=a2+b2sin⁡(wx+φ)
其中tanφ=ba, φ∈(0,π2)
题型一. 两角和与差公式
1．已知sin（α+π6）=13，α∈（π3，5π6），则cos（α+π3）＝　−26−16　．
【解答】解：∵α∈（π3，5π6），∴α+π6∈（π2，π），
由sin（α+π6）=13，得cos（α+π6）=−223，
∴cos（α+π3）＝cos[（α+π6）+π6]＝cos（α+π6）⋅cosπ6−sin（α+π6）•sinπ6
=−223×32−13×12=−26−16．
故答案为：−26−16．
2．已知π2＜β＜α＜3π4，若cos（α﹣β）=1213，sin（α+β）=−35，则sin2β＝（　　）
A．13 B．−13 C．5665 D．−1665
【解答】解：∵已知π2＜β＜α＜3π4，∴α﹣β∈（0，π4），α+β∈（π，3π2），
若cos（α﹣β）=1213，sin（α+β）=−35，
∴sin（α﹣β）=1−cos2(α−β)=513，cos（α+β）=−1−sin2(α+β)=−45，
则sin2β＝sin[（α+β）﹣（α﹣β）]＝sin（α+β）cos（α﹣β）﹣cos（α+β）sin（α﹣β）=−35•1213−（−45）•513=−1665，
故选：D．
3．（1）设α，β为锐角，且sinα=55，cosβ=31010，求α+β的值；
（2）化简求值：sin50°(1+3tan10°)．
【解答】解：（1）∵α为锐角，sinα=55，∴cosα=255；∵β为锐角，cosβ=31010，∴sinβ=1010，
∴cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ=255×31010−55×1010=22，∵α+β∈（0，π），∴α+β=π4．
（2）sin50°(1+3tan10°)=sin50°⋅(cos10°+3sin10°)cos10°=sin50°•2cos(60°−10°)cos10°=sin100°cos10°=1．
4．（2020•新课标Ⅲ）已知2tanθ﹣tan（θ+π4）＝7，则tanθ＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：由2tanθ﹣tan（θ+π4）＝7，得2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，
即2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，
得2tan2θ﹣8tanθ+8＝0，
即tan2θ﹣4tanθ+4＝0，
即（tanθ﹣2）2＝0，
则tanθ＝2，
故选：D．
5．（2015•重庆）若tanα＝2tanπ5，则cos(α−3π10)sin(α−π5)=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：tanα＝2tanπ5，则cos(α−3π10)sin(α−π5)=cosαcos3π10+sinαsin3π10sinαcosπ5−cosαsinπ5=cos3π10+tanαsin3π10tanαcosπ5−sinπ5
=cos3π10+2tanπ5sin3π102tanπ5cosπ5−sinπ5=cos3π10+2sinπ5cosπ5sin3π102sinπ5cosπ5cosπ5−sinπ5=cosπ5cos3π10+2sinπ5sin3π102sinπ5cosπ5−cosπ5sinπ5=cos(π5−3π10)+sinπ5sin3π10sinπ5cosπ5+sin(π5−π5)=cosπ10+sinπ5sin3π10sinπ5cosπ5=cosπ10−12[cos(π5+3π10)−cos(π5−3π10)]12sin2π5=cosπ10+12cosπ1012sin2π5=3cosπ10sin2π5=3cosπ10sin(π2−π10)=3cosπ10cosπ10